Calcule o comprimento da curva Hipociclóide dada pela equação paramétrica
e
.
Passo 1
Então, temos que calcular o comprimento da curva chamada Hipociclóide, que está descrita pelas equações paramétricas
e
. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva parametrizada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva paramétrica. Se temos
e
, o comprimento
da curva de
até
é dado por:
Essa fórmula basicamente soma todas as pequenas distâncias ao longo da curva.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Essas derivadas mostram como
e
mudam conforme
varia.
Passo 4
Substituindo as derivadas na fórmula do comprimento:
Simplificando dentro da raiz:
Como
:
Passo 5
Observando que
, podemos simplificar a integral:
Sabemos que o valor da integral de
de 0 a
é 4:
Resposta
O comprimento da curva Hipociclóide é
unidades.
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