Encontre a solução da seguinte equação de Bernoulli: y^prime+2 y=6 x y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é . A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais, especificamente as Equações de Bernoulli. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que transforma a equação em uma forma mais simples, que podemos resolver usando métodos que você já conhece.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de Bernoulli. É uma equação diferencial da forma:
y' + P(x)y = Q(x)y^n
Onde v = y^1 - n é um número real. Nosso objetivo é transformar essa equação em uma equação linear. Para isso, fazemos a substituição:
v = y^1 - 2 = y^-1
No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora, precisamos derivar v' = -y^-2y' em relação a y' = -y^2v' :
Podemos resolver isso para :

Passo 4

Vamos substituir -y^2v' + 2y = 6xy^2 na equação original:
-v' + 2y = 6x
Dividindo toda a equação por para simplificar:

Passo 5

Lembrando que -v' + 2v = 6x , então v' - 2v = -6x . Substituindo isso na equação:
Vamos reorganizar:
Agora, temos uma equação diferencial linear em termos de .

Passo 6

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. Primeiro, identificamos:
P(x) = -2
Calculamos o fator integrante mu(x) = e^integral P(x)dx = e^integral -2 dx = e^-2x :

Passo 7

Multiplicamos toda a equação por e^-2xv' - 2e^-2xv = -6x e^-2x :
ddx(e^-2xv) = -6x e^-2x
O lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto :

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a e^-2xv = integral -6x e^-2x dx :
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes.

Passo 9

Aplicando a integração por partes onde:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^-2x dx Rightarrow v = -12e^-2x
Então,
integral x e^-2x dx = -12x e^-2x + 14e^-2x + C
Multiplicando por -6:
-6 times ( -12x e^-2x + 14e^-2x ) = 3x e^-2x - 32e^-2x + C

Passo 10

Voltando à equação:
e^-2xv = 3x e^-2x - 32e^-2x + C
Dividindo ambos os lados por v = 3x - 32 + Ce^2x :

Passo 11

Lembrando que y^-1 = 3x - 32 + Ce^2x , então:
y = 13x - 32 + Ce^2x
Invertendo ambos os lados para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
y(x) = 13x - 32 + C e^2x
Onde é a constante de integração.

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