Encontre a solução da seguinte equação de Bernoulli:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é
. A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais, especificamente as Equações de Bernoulli. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que transforma a equação em uma forma mais simples, que podemos resolver usando métodos que você já conhece.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de Bernoulli. É uma equação diferencial da forma:
Onde
é um número real. Nosso objetivo é transformar essa equação em uma equação linear. Para isso, fazemos a substituição:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Agora, precisamos derivar
em relação a
:
Podemos resolver isso para
:
Passo 4
Vamos substituir
na equação original:
Dividindo toda a equação por
para simplificar:
Passo 5
Lembrando que
, então
. Substituindo isso na equação:
Vamos reorganizar:
Agora, temos uma equação diferencial linear em termos de
.
Passo 6
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. Primeiro, identificamos:
Calculamos o fator integrante
:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação por
:
O lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto
:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes.
Passo 9
Aplicando a integração por partes onde:
Então,
Multiplicando por -6:
Passo 10
Voltando à equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 11
Lembrando que
, então:
Invertendo ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli é:
Onde
é a constante de integração.