Encontre a solução da seguinte equação de Bernoulli: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é . A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais, especificamente as Equações de Bernoulli. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que transforma a equação em uma forma mais simples, que podemos resolver usando métodos que você já conhece.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de Bernoulli. É uma equação diferencial da forma:
Onde é um número real. Nosso objetivo é transformar essa equação em uma equação linear. Para isso, fazemos a substituição:
No nosso caso, , então:
Passo 3
Agora, precisamos derivar em relação a :
Podemos resolver isso para :
Passo 4
Vamos substituir na equação original:
Dividindo toda a equação por para simplificar:
Passo 5
Lembrando que , então . Substituindo isso na equação:
Vamos reorganizar:
Agora, temos uma equação diferencial linear em termos de .
Passo 6
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. Primeiro, identificamos:
Calculamos o fator integrante :
Passo 7
Multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto :
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a :
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes.