Encontre a solução da seguinte equação de Bernoulli: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que é . A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais, especificamente as Equações de Bernoulli. Para resolver isso, vamos precisar usar uma substituição que transforma a equação em uma forma mais simples, que podemos resolver usando métodos que você já conhece.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação de Bernoulli. É uma equação diferencial da forma:
Onde é um número real. Nosso objetivo é transformar essa equação em uma equação linear. Para isso, fazemos a substituição:
No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora, precisamos derivar em relação a :
Podemos resolver isso para :

Passo 4

Vamos substituir na equação original:
Dividindo toda a equação por para simplificar:

Passo 5

Lembrando que , então . Substituindo isso na equação:
Vamos reorganizar:
Agora, temos uma equação diferencial linear em termos de .

Passo 6

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. Primeiro, identificamos:
Calculamos o fator integrante :

Passo 7

Multiplicamos toda a equação por :
O lado esquerdo da equação se torna a derivada do produto :

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes.

Passo 9

Aplicando a integração por partes onde:
Então,
Multiplicando por -6:

Passo 10

Voltando à equação:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 11

Lembrando que , então:
Invertendo ambos os lados para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Considere o sistema
Note que podemos escrevê-lo na forma matricial
Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
(a)
Obtenha uma equação vetorial para a reta t, contida no plano , e que é concorrente com as retas
Encontre a inversa das matrizes abaixo:
(a)