Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. A gente vai precisar entender um pouquinho sobre matrizes e operações que a gente faz nelas para simplificar o sistema. Além disso, vamos calcular o posto da matriz ampliada e da matriz dos coeficientes para ver se o sistema tem solução e, se tiver, qual é o grau de liberdade, ou seja, quantas variáveis vão poder variar livremente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma matricial. O sistema é:
Podemos representar isso como uma matriz aumentada, que junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Jordan para simplificar essa matriz. A ideia é transformar a matriz aumentada em uma forma escalonada reduzida, onde conseguimos identificar facilmente as soluções.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar o coeficiente de na segunda linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 - 2 × Linha 1
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os seus elementos por 3, para deixar o coeficiente de igual a 1:
Linha 2 = (1/3) × Linha 2
Passo 5
Em seguida, vamos usar a segunda linha para eliminar o coeficiente de na primeira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por -1 e somamos à primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 - Linha 2
Passo 6
Agora, temos a matriz na forma escalonada reduzida. Vamos traduzir isso de volta para equações:
Podemos resolver essas equações em termos de :
Passo 7
Como temos 3 variáveis e apenas 2 equações independentes, uma das variáveis, no caso , será livre para assumir qualquer valor real. Isso significa que podemos expressar e em função de .
Passo 8
Agora, vamos calcular o posto das matrizes. O posto da matriz ampliada é o número de linhas não nulas na forma escalonada. Aqui, temos 2 linhas não nulas, então:
O posto da matriz dos coeficientes (a matriz sem a coluna dos termos constantes) também é 2, pois as duas primeiras colunas também não geram linhas nulas após a eliminação.
Passo 9
Como o posto da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz ampliada e ambos são menores que o número de variáveis (3), o sistema é possível e indeterminado. O grau de liberdade é dado pela diferença entre o número de variáveis e o posto, então:
Isso confirma que temos uma variável livre, que no caso é .
Resposta
As soluções do sistema são:
O posto da matriz ampliada é 2, o posto da matriz dos coeficientes é 2, e o sistema é possível com grau de liberdade igual a 1.