Encontre a solução da seguinte equação de Riccati: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de Riccati dada por . Essa equação faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias e, especificamente, das equações não lineares. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação é:
Podemos rearranjar os termos para:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa que todos os termos com ficarão de um lado e os termos com do outro. Fazemos isso dividindo ambos os lados por :
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve uma função racional que pode ser integrada usando frações parciais:
Passo 5
Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Sabemos que:
Onde integral dx = x + C é a constante de integração. A integral do lado direito é simplesmente:
Passo 6
Igualando as integrais, temos:
12 ln|1 + y1 - y| = x + C
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
ln|1 + y1 - y| = 2x + C'
Onde ainda é uma constante.
Passo 7
Para resolver para 1 + y1 - y = e^2x + C' , aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Podemos escrever como , onde é uma nova constante.
Passo 8
Agora, isolamos 1 + y = K e^2x (1 - y) :
1 + y = K e^2x - K e^2x y
Distribuindo o y + K e^2x y = K e^2x - 1 :
y (1 + K e^2x) = K e^2x - 1
Reagrupando os termos com y = K e^2x - 11 + K e^2x :
Fatorando :
Finalmente, resolvendo para :
Resposta
A solução geral da equação y(x) = K e^2x - 11 + K e^2x é:
Onde é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.