Encontre a solução da seguinte equação de Riccati: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial de Riccati dada por . Essa equação faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias e, especificamente, das equações não lineares. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação é:
Podemos rearranjar os termos para:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa que todos os termos com ficarão de um lado e os termos com do outro. Fazemos isso dividindo ambos os lados por :
Passo 4
Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve uma função racional que pode ser integrada usando frações parciais:
Passo 5
Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Sabemos que:
Onde é a constante de integração. A integral do lado direito é simplesmente:
Passo 6
Igualando as integrais, temos:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde ainda é uma constante.
Passo 7
Para resolver para , aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Podemos escrever como , onde é uma nova constante.
Passo 8
Agora, isolamos :
Distribuindo o :
Reagrupando os termos com :
Fatorando :
Finalmente, resolvendo para :
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.