Encontre a solução da seguinte equação de Riccati: y^prime=-y^2+1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de Riccati dada por . Essa equação faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias e, especificamente, das equações não lineares. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação é:
dydx = -y^2 + 1
Podemos rearranjar os termos para:
dydx = 1 - y^2

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis dy1 - y^2 = dx e . Isso significa que todos os termos com ficarão de um lado e os termos com do outro. Fazemos isso dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve uma função racional que pode ser integrada usando frações parciais:
integral dy1 - y^2 = integral dx

Passo 5

Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Sabemos que:
integral dy1 - y^2 = 12 ln|1 + y1 - y| + C
Onde integral dx = x + C é a constante de integração. A integral do lado direito é simplesmente:

Passo 6

Igualando as integrais, temos:
12 ln|1 + y1 - y| = x + C
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
ln|1 + y1 - y| = 2x + C'
Onde ainda é uma constante.

Passo 7

Para resolver para 1 + y1 - y = e^2x + C' , aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Podemos escrever como , onde é uma nova constante.

Passo 8

Agora, isolamos 1 + y = K e^2x (1 - y) :
1 + y = K e^2x - K e^2x y
Distribuindo o y + K e^2x y = K e^2x - 1 :
y (1 + K e^2x) = K e^2x - 1
Reagrupando os termos com y = K e^2x - 11 + K e^2x :
Fatorando :
Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação y(x) = K e^2x - 11 + K e^2x é:
Onde é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados