Encontre a solução da seguinte equação de Riccati: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial de Riccati dada por . Essa equação faz parte do estudo de equações diferenciais ordinárias e, especificamente, das equações não lineares. Para resolver, vamos precisar entender como separar as variáveis e integrar para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a separação das variáveis. A equação é:
Podemos rearranjar os termos para:

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa que todos os termos com ficarão de um lado e os termos com do outro. Fazemos isso dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Em seguida, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo envolve uma função racional que pode ser integrada usando frações parciais:

Passo 5

Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Sabemos que:
Onde é a constante de integração. A integral do lado direito é simplesmente:

Passo 6

Igualando as integrais, temos:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde ainda é uma constante.

Passo 7

Para resolver para , aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
Podemos escrever como , onde é uma nova constante.

Passo 8

Agora, isolamos :
Distribuindo o :
Reagrupando os termos com :
Fatorando :
Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.

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Resolva o sistema
Determine a solução da equação de Riccati: .
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Estude a posição relativa das retas i e s nos seguintes casos:
a)
r:

b) r:

c)

d)

e)

f)

g)

h) r: