Resolva o sistema

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O problema tem três equações com quatro variáveis: , , e . A matéria que vamos usar é a álgebra linear, especificamente sistemas lineares. Para resolver, vamos usar o método de substituição e eliminação para encontrar as soluções das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar o sistema de equações:

Passo 3

Vamos começar isolando uma das variáveis em uma das equações. Vamos isolar na equação (1):

Passo 4

Agora, substituímos a expressão de da equação (4) nas equações (2) e (3):
Substituindo na equação (2):
Vamos simplificar:
Os termos e se cancelam, assim como e . Ficamos com:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora sabemos que . Vamos substituir esse valor na equação (3):
Simplificando:

Passo 6

Vamos utilizar a expressão de da equação (4) na equação (5):
Substituindo :
Simplificando dentro dos parênteses:
Distribuindo o sinal negativo:
Os termos e se cancelam, assim como e . Ficamos com:

Passo 7

A equação resultante é sempre verdadeira, o que significa que não há restrições adicionais para e . Portanto, e são variáveis livres, ou seja, podemos atribuir qualquer valor a elas.
Vamos chamar e , onde e podem ser qualquer número real.

Passo 8

Agora, substituímos e nas expressões para as outras variáveis:
  • De :
  • Já sabemos que .

Passo 9

Então, a solução geral do sistema pode ser expressa em termos das variáveis livres e :

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são quaisquer números reais.

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