Resolva o sistema
cccc x-y+z+w & =3 2 x-2 y-3 z+2 w & = & -4 -x+y+3 z-w & = & 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O problema tem três equações com quatro variáveis: , , e . A matéria que vamos usar é a álgebra linear, especificamente sistemas lineares. Para resolver, vamos usar o método de substituição e eliminação para encontrar as soluções das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar o sistema de equações:
x - y + z + w = 3 (1) 2x - 2y - 3z + 2w = -4 (2) - x + y + 3z - w = 5 (3)

Passo 3

Vamos começar isolando uma das variáveis em uma das equações. Vamos isolar x = y - z - w + 3 (4) na equação (1):

Passo 4

Agora, substituímos a expressão de 2(y - z - w + 3) - 2y - 3z + 2w = -4 da equação (4) nas equações (2) e (3):
Substituindo na equação (2):
2y - 2z - 2w + 6 - 2y - 3z + 2w = -4
Vamos simplificar:
-5z + 6 = -4
Os termos -5z = -10 implies z = 2 e se cancelam, assim como e . Ficamos com:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora sabemos que - x + y + 3(2) - w = 5 . Vamos substituir esse valor na equação (3):
- x + y + 6 - w = 5 implies -x + y - w = -1 (5)
Simplificando:

Passo 6

Vamos utilizar a expressão de - (y - z - w + 3) + y - w = -1 da equação (4) na equação (5):
- (y - 2 - w + 3) + y - w = -1
Substituindo - (y + 1 - w) + y - w = -1 :
- y -1 + w + y - w = -1
Simplificando dentro dos parênteses:
-1 = -1
Distribuindo o sinal negativo:
Os termos e se cancelam, assim como e . Ficamos com:

Passo 7

A equação resultante é sempre verdadeira, o que significa que não há restrições adicionais para e . Portanto, e são variáveis livres, ou seja, podemos atribuir qualquer valor a elas.
Vamos chamar e , onde e podem ser qualquer número real.

Passo 8

Agora, substituímos x = s - 2 - k + 3 = s - k + 1 e nas expressões para as outras variáveis:
  • De :
  • Já sabemos que .

Passo 9

Então, a solução geral do sistema pode ser expressa em termos das variáveis livres x = 1 + s - k y = s z = 2 w = k e :

Resposta

A solução geral do sistema é:
x = 1 + s - k y = s z = 2 w = k
Onde e são quaisquer números reais.

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