Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e dois termos de impulso representados pelas funções delta de Dirac. Para resolver isso, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos essas “impulses” $ \delta(t) $ no lado direito da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o trabalho:
Aqui, $ y’’ $ é a segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
A Transformada de Laplace de $ y’’(t) $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $.
A Transformada de Laplace de $ y(t) $ é $ Y(s) $.
A Transformada de Laplace de $ \delta(t - a) $ é $ e^{-a s} $.
Aplicando isso, temos:
Passo 4
Agora, substituímos as condições iniciais que são $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $:
Simplificando:
Passo 5
Vamos fatorar $ Y(s) $ do lado esquerdo:
Para isolar $ Y(s) $, dividimos ambos os lados pela expressão que está multiplicando $ Y(s) $:
Passo 6
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 7
Agora, vamos escrever a Transformada de Laplace inversa para encontrar $ y(t) $. Lembrando que:
No nosso caso, $ 36 s^2 + 1 = 36 \left(s^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2\right) $, então $ a = \frac{1}{6} $.
Passo 8
Aplicando a Transformada de Laplace inversa:
Isso resulta em funções de impulso retardado no tempo.
Passo 9
Usando a propriedade de mudança de tempo para a Transformada de Laplace, sabemos que:
Onde $ u(t - a) $ é a função degrau de Heaviside.
Aplicando isso:
Passo 10
Simplificando as frações:
Resposta
A solução para o PVI dado é:
Onde $ u(t - a) $ é a função degrau de Heaviside que ativa o termo a partir de $ t = a $.