(a) Encontre a solução para o seguinte PVI:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e dois termos de impulso representados pelas funções delta de Dirac. Para resolver isso, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos essas “impulses” $ \delta(t) $ no lado direito da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o trabalho:
Aqui, $ y’’ $ é a segunda derivada de $ y $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
  • A Transformada de Laplace de $ y’’(t) $ é $ s^2 Y(s) - s y(0) - y’(0) $.
  • A Transformada de Laplace de $ y(t) $ é $ Y(s) $.
  • A Transformada de Laplace de $ \delta(t - a) $ é $ e^{-a s} $.
Aplicando isso, temos:

Passo 4

Agora, substituímos as condições iniciais que são $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 0 $:
Simplificando:

Passo 5

Vamos fatorar $ Y(s) $ do lado esquerdo:
Para isolar $ Y(s) $, dividimos ambos os lados pela expressão que está multiplicando $ Y(s) $:

Passo 6

Simplificando o denominador:
Então:

Passo 7

Agora, vamos escrever a Transformada de Laplace inversa para encontrar $ y(t) $. Lembrando que:
No nosso caso, $ 36 s^2 + 1 = 36 \left(s^2 + \left(\frac{1}{6}\right)^2\right) $, então $ a = \frac{1}{6} $.

Passo 8

Aplicando a Transformada de Laplace inversa:
Isso resulta em funções de impulso retardado no tempo.

Passo 9

Usando a propriedade de mudança de tempo para a Transformada de Laplace, sabemos que:
Onde $ u(t - a) $ é a função degrau de Heaviside.
Aplicando isso:

Passo 10

Simplificando as frações:

Resposta

A solução para o PVI dado é:
Onde $ u(t - a) $ é a função degrau de Heaviside que ativa o termo a partir de $ t = a $.

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valor inicial:
(a) , em que
(b) , em que
© , em que
(d) , em que
Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f) .
(g) .
(h) .
Considere
á
Calcule .
(a) Determine a solução do problema
(b) Esboce o gráfico da soluçãoo encontrada