(e) y^prime prime+3 y^prime+2 y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=0, em que f(t)= t, & para 0 <= t<10 0, & para t >= 10
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de valor inicial que você enviou! Aqui, estamos lidando com equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. O objetivo é encontrar a função f(t) = 1, & para 0 <= t < pi2 0, & para t >= pi2 que satisfaz a equação com as condições iniciais e . A função é definida por partes:
Para resolver isso, vamos usar transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada Ly'' + y = Lf(t) é s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + Y(s) = Lf(t) , onde s^2 Y(s) - 0 - 1 + Y(s) = Lf(t) é a Transformada de Laplace de (s^2 + 1) Y(s) - 1 = Lf(t) .
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Isso se torna:
Substituindo as condições iniciais e :
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de f(t) = 1 cdot u(t) - 1 cdot u(t - pi2) . Como Lf(t) = 1s - e^-pi2 s cdot 1s é uma função definida por partes, podemos escrevê-la como:
(s^2 + 1) Y(s) - 1 = 1s - e^-pi2 ss
onde Y(s) = 1s^2 + 1 (1 + 1s - e^-pi2 ss) é a função degrau de Heaviside.
A Transformada de Laplace de é , e a Transformada de é .
Portanto:
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos :
Passo 4
Para encontrar Y(s) = 1s^2 + 1 + 1s(s^2 + 1) - e^-pi2 ss(s^2 + 1) , precisamos calcular a Transformada Inversa de Laplace de L^-11s^2 + 1 = sin t .
Primeiro, separamos os termos:
L^-11s(s^2 + 1) = 1 - cos t
Conhecemos as seguintes Transformadas Inversas de Laplace: