Beleza, vamos resolver o exercício de valor inicial que você enviou! Aqui, estamos lidando com equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. O objetivo é encontrar a função que satisfaz a equação com as condições iniciais e . A função é definida por partes:
Para resolver isso, vamos usar transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais, especialmente quando temos funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é , onde é a Transformada de Laplace de .
Aplicando a Transformada de Laplace na equação:
Isso se torna:
Substituindo as condições iniciais e :
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de . Como é uma função definida por partes, podemos escrevê-la como:
onde é a função degrau de Heaviside.
A Transformada de Laplace de é , e a Transformada de é .
Portanto:
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos :
Passo 4
Para encontrar , precisamos calcular a Transformada Inversa de Laplace de .
Primeiro, separamos os termos:
Conhecemos as seguintes Transformadas Inversas de Laplace:
Para o terceiro termo, usamos a propriedade da trasnformada de Laplace que envolve deslocamento no tempo: