(a) Determine a solução do problema
(b) Esboce o gráfico da soluçãoo encontrada
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a solução da equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Além disso, tem a parte (b) que pede para esboçar o gráfico da solução. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e entender como a função delta de Dirac (
) influencia a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja:
Para fazer isso, encontramos as raízes da equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas:
e
.
Passo 3
Com raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 4
Agora, vamos considerar a solução particular devido ao termo do lado direito da equação original:
A função delta de Dirac
representa um impulso em
. Para resolver essa parte, usamos a propriedade da transformada de Laplace, mas aqui vamos considerar o efeito do impulso diretamente na solução.
Passo 5
Integrando a equação diferencial ao redor do ponto
, consideramos que a função delta causa uma descontinuidade na derivada de
. Basicamente, isso adiciona uma condição extra à solução homogênea. A solução completa será a solução homogênea mais a resposta ao impulso.
Passo 6
A solução geral é então:
Onde
é a solução particular devido ao impulso. Devido à linearidade da equação, podemos calcular
como a resposta de
ao impulso aplicado em
.
Passo 7
Substituindo as condições iniciais
e
na solução homogênea, temos:
Avaliado em
:
Como
, então
e
.
Passo 8
Portanto, a solução homogênea fica:
Agora, precisamos adicionar a resposta ao impulso.
Passo 9
A resposta a um impulso em
modifica a solução para:
Onde
é a função de Heaviside que garante que o impulso afeta a solução a partir de
.
Passo 10
Simplificando, temos:
Como
, a equação simplifica para:
Passo 11
Finalmente, juntando tudo, a solução completa da equação diferencial dada é:
Resposta
A solução da equação diferencial é
onde
é a função de Heaviside que representa o impacto do impulso em
. Quanto ao esboço do gráfico, ele mostra uma oscilação amortecida iniciando em
e com um impulso adicional em
, aumentando a amplitude da oscilação a partir desse ponto.