(a) Determine a solução do problema
(b) Esboce o gráfico da soluçãoo encontrada

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais juntos! O enunciado pede para a gente encontrar a solução da equação diferencial
com as condições iniciais e . Além disso, tem a parte (b) que pede para esboçar o gráfico da solução. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e entender como a função delta de Dirac ( ) influencia a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja:
Para fazer isso, encontramos as raízes da equação característica:
Resolvendo essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas: e .

Passo 3

Com raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
No nosso caso, e , então:

Passo 4

Agora, vamos considerar a solução particular devido ao termo do lado direito da equação original:
A função delta de Dirac representa um impulso em . Para resolver essa parte, usamos a propriedade da transformada de Laplace, mas aqui vamos considerar o efeito do impulso diretamente na solução.

Passo 5

Integrando a equação diferencial ao redor do ponto , consideramos que a função delta causa uma descontinuidade na derivada de . Basicamente, isso adiciona uma condição extra à solução homogênea. A solução completa será a solução homogênea mais a resposta ao impulso.

Passo 6

A solução geral é então:
Onde é a solução particular devido ao impulso. Devido à linearidade da equação, podemos calcular como a resposta de ao impulso aplicado em .

Passo 7

Substituindo as condições iniciais e na solução homogênea, temos:
Avaliado em :
Como , então e .

Passo 8

Portanto, a solução homogênea fica:
Agora, precisamos adicionar a resposta ao impulso.

Passo 9

A resposta a um impulso em modifica a solução para:
Onde é a função de Heaviside que garante que o impulso afeta a solução a partir de .

Passo 10

Simplificando, temos:
Como , a equação simplifica para:

Passo 11

Finalmente, juntando tudo, a solução completa da equação diferencial dada é:

Resposta

A solução da equação diferencial é
onde é a função de Heaviside que representa o impacto do impulso em . Quanto ao esboço do gráfico, ele mostra uma oscilação amortecida iniciando em e com um impulso adicional em , aumentando a amplitude da oscilação a partir desse ponto.

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Considere
á
Calcule .
(a) Encontre a solução para o seguinte PVI:
Resolva a equação integral
Assuma que um determinado computador requer 0,002 segundos para completar a substituição retroativa em um sistema triangular superior de . Estime o tempo necessário para resolver um sistema geral de 9000 equações com 9000 incógnitas. Arredonde sua resposta para o segundo mais próximo.