Considere
á
Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve calcular a convolução de duas funções, e . Convolução é um conceito da matemática que ajuda a entender como duas funções interagem ou se combinam. Vamos precisar usar a definição de convolução e analisar onde as funções e são diferentes de zero para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de convolução para duas funções e :
Isso significa que para cada valor de , a convolução é obtida integrando o produto de e ao longo de todo o intervalo de .

Passo 3

Agora, vamos analisar onde cada função é diferente de zero:
  • A função é diferente de zero apenas no intervalo .
  • A função é diferente de zero apenas no intervalo .
Como ambas as funções são zero fora desses intervalos, podemos restringir os limites de integração para simplificar o cálculo.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração onde ambas as funções são diferentes de zero. Para ser diferente de zero, precisamos que:
Além disso, é diferente de zero apenas para . Portanto, os limites de integração serão o máximo entre e , e o mínimo entre e .
Então, os limites de integração ficam:

Passo 5

Vamos dividir o cálculo em diferentes intervalos de para facilitar:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
    • A convolução será zero, pois as funções não se sobrepõem.

Passo 6

Agora, vamos calcular a convolução em cada intervalo:
  1. Para :
  2. Para :
    Neste intervalo, .
    Calculando:
  3. Para :
    Aqui, .
    Calculando:
  4. Para :
    As funções não se sobrepõem, então .

Resposta

A convolução é dada por:

Exercícios relacionados

(a) Encontre a solução para o seguinte PVI:
Resolva os problemas de valor inicial:
(a) , em que
(b) , em que
© , em que
(d) , em que
(a) Determine a solução do problema
(b) Esboce o gráfico da soluçãoo encontrada
Resolva a equação integral