Beleza, vamos resolver o exercício que envolve calcular a convolução de duas funções, e . Convolução é um conceito da matemática que ajuda a entender como duas funções interagem ou se combinam. Vamos precisar usar a definição de convolução e analisar onde as funções e são diferentes de zero para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de convolução para duas funções (f * g)(t) = integral-infty^infty f(tau) cdot g(t - tau) , dtau e :
Isso significa que para cada valor de , a convolução é obtida integrando o produto de e ao longo de todo o intervalo de .
Passo 3
Agora, vamos analisar onde cada função é diferente de zero:
A função é diferente de zero apenas no intervalo .
A função é diferente de zero apenas no intervalo .
Como ambas as funções são zero fora desses intervalos, podemos restringir os limites de integração para simplificar o cálculo.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração onde ambas as funções são diferentes de zero. Para 0 < t - tau < 1 implies t - 1 < tau < t ser diferente de zero, precisamos que:
Inferior = max(t - 1, 0) Superior = min(t, 2)
Além disso, é diferente de zero apenas para . Portanto, os limites de integração serão o máximo entre e , e o mínimo entre e .
Então, os limites de integração ficam:
Passo 5
Vamos dividir o cálculo em diferentes intervalos de para facilitar:
Para :
Para :
Para :
Para :
A convolução será zero, pois as funções não se sobrepõem.
Passo 6
Agora, vamos calcular a convolução em cada intervalo:
Para (f * g)(t) = integral0^t tau cdot 1 , dtau = integral0^t tau , dtau = [ tau^22 ]0^t = t^22 :