Considere
f(t)=ll t, & se 0= 2 e g(t)= 1, & se 0á
Calcule f * g.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve calcular a convolução de duas funções, e . Convolução é um conceito da matemática que ajuda a entender como duas funções interagem ou se combinam. Vamos precisar usar a definição de convolução e analisar onde as funções e são diferentes de zero para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de convolução para duas funções (f * g)(t) = integral-infty^infty f(tau) cdot g(t - tau) , dtau e :
Isso significa que para cada valor de , a convolução é obtida integrando o produto de e ao longo de todo o intervalo de .

Passo 3

Agora, vamos analisar onde cada função é diferente de zero:
  • A função é diferente de zero apenas no intervalo .
  • A função é diferente de zero apenas no intervalo .
Como ambas as funções são zero fora desses intervalos, podemos restringir os limites de integração para simplificar o cálculo.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração onde ambas as funções são diferentes de zero. Para 0 < t - tau < 1 implies t - 1 < tau < t ser diferente de zero, precisamos que:
Inferior = max(t - 1, 0) Superior = min(t, 2)
Além disso, é diferente de zero apenas para . Portanto, os limites de integração serão o máximo entre e , e o mínimo entre e .
Então, os limites de integração ficam:

Passo 5

Vamos dividir o cálculo em diferentes intervalos de para facilitar:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
    • A convolução será zero, pois as funções não se sobrepõem.

Passo 6

Agora, vamos calcular a convolução em cada intervalo:
  1. Para (f * g)(t) = integral0^t tau cdot 1 , dtau = integral0^t tau , dtau = [ tau^22 ]0^t = t^22 :
    (f * g)(t) = integralt-1^t (2 - tau) cdot 1 , dtau = integralt-1^t (2 - tau) , dtau = [ 2tau - tau^22 ]t-1^t
  2. Para = (2t - t^22) - (2(t - 1) - (t - 1)^22) = 2t - t^22 - 2t + 2 - t^2 - 2t + 12 = 2 - t^2 - 2t + 12 = 2 - t^22 + t - 12 = 32 + t - t^22 :
    Neste intervalo, (f * g)(t) = integralt-1^2 (2 - tau) cdot 1 , dtau = integralt-1^2 (2 - tau) , dtau = [ 2tau - tau^22 ]t-1^2 .
    = (4 - 2) - (2(t - 1) - (t - 1)^22) = 2 - 2(t - 1) + (t - 1)^22 = 2 - 2t + 2 + t^2 - 2t + 12 = 4 - 2t + t^22 - t + 12 = t^22 - 3t + 92
    Calculando:
  3. Para :
    Aqui, .
    Calculando:
  4. Para :
    As funções não se sobrepõem, então .

Resposta

A convolução (f * g)(t) = t^22, & para 0 < t < 1, 32 + t - t^22, & para 1 <= t < 2, t^22 - 3t + 92, & para 2 <= t < 3, 0, & para t >= 3 é dada por:

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