Verifique que a equação
admite um fator integrante dependendo só de
, porém não admite um fator integrante que depende somente de
. Resolva a equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Nossa missão é mostrar que essa equação tem um fator integrante que depende só de
, mas não de
, e depois resolver a equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre fatores integrantes e como usá-los para resolver equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos começar isolando
:
Então, dividimos os dois lados pelo coeficiente de
:
Agora, nossa equação está na forma
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos procurar um fator integrante que torne a equação exata. Um fator integrante é uma função que, quando multiplicada pela equação original, permite integrar facilmente ambos os lados.
Como o exercício pede um fator integrante que depende só de
, vamos supor que ele é
. Multiplicando a equação por
, teremos:
Queremos que essa equação seja exata, ou seja, que exista uma função
tal que:
e
Passo 4
Para que a equação seja exata, a seguinte condição deve ser satisfeita:
Vamos calcular cada derivada:
Primeiro o da esquerda:
E o da direita:
Igualando as duas expressões:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa igualdade para encontrar
. Observando que o termo com
está tanto no lado esquerdo quanto no direito, podemos tentar agrupar termos que dependem de
.
Dividimos tudo por
:
Agora, para que essa igualdade seja válida para todos os
e
, os coeficientes de
devem se anular. Assim, simplificamos a equação para encontrar
:
Isso porque os termos com
precisam cancelar.
Passo 6
Vamos resolver agora a equação diferencial para
:
Rearranjando:
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Fazendo a integral:
Exponenciando:
onde
é uma constante que pode ser absorvida.
Podemos tomar
para simplificar, então:
Passo 7
Agora que temos o fator integrante
, vamos multiplicar a equação original por ele:
Simplificando:
Agora, a equação é exata e podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução.
Passo 8
Vamos integrar os termos:
Espera aí, parece complicado! Mas como a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Simplificando a fração:
Então:
Mas essa integração ainda é complicada, então vamos utilizar a condição de exatidão para simplificar e encontrar a solução implícita.
Passo 9
A partir da exatidão, sabemos que:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.