Verifique que a equação
(3 y + y^2 + (2 + y) sen(x)) y' + y cos(x) = 0
admite um fator integrante dependendo só de y, porém não admite um fator integrante que depende somente de x. Resolva a equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
Nossa missão é mostrar que essa equação tem um fator integrante que depende só de , mas não de , e depois resolver a equação. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre fatores integrantes e como usá-los para resolver equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos começar isolando :
Então, dividimos os dois lados pelo coeficiente de :
Agora, nossa equação está na forma .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos procurar um fator integrante que torne a equação exata. Um fator integrante é uma função que, quando multiplicada pela equação original, permite integrar facilmente ambos os lados.
Como o exercício pede um fator integrante que depende só de , vamos supor que ele é . Multiplicando a equação por , teremos:
Queremos que essa equação seja exata, ou seja, que exista uma função tal que:
e

Passo 4

Para que a equação seja exata, a seguinte condição deve ser satisfeita:
Vamos calcular cada derivada:
Primeiro o da esquerda:
E o da direita:
Igualando as duas expressões:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa igualdade para encontrar . Observando que o termo com está tanto no lado esquerdo quanto no direito, podemos tentar agrupar termos que dependem de .
Dividimos tudo por :
Agora, para que essa igualdade seja válida para todos os e , os coeficientes de devem se anular. Assim, simplificamos a equação para encontrar :
Isso porque os termos com precisam cancelar.

Passo 6

Vamos resolver agora a equação diferencial para :
Rearranjando:
Isso pode ser reescrito como:
Integrando ambos os lados:
Fazendo a integral:
Exponenciando:
onde é uma constante que pode ser absorvida.
Podemos tomar para simplificar, então:

Passo 7

Agora que temos o fator integrante , vamos multiplicar a equação original por ele:
Simplificando:
Agora, a equação é exata e podemos integrar ambos os lados para encontrar a solução.

Passo 8

Vamos integrar os termos:
Espera aí, parece complicado! Mas como a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a :
Simplificando a fração:
Então:
Mas essa integração ainda é complicada, então vamos utilizar a condição de exatidão para simplificar e encontrar a solução implícita.

Passo 9

A partir da exatidão, sabemos que:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração.

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