Nos problemas 8-10, resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Esse tipo de problema envolve equações diferenciais, que são equações que relacionam uma função com suas derivadas. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis
e
e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para separar as variáveis. Vamos dividir ambos os lados por
:
Mas isso ainda não está bem separado. Vamos reescrever a equação original para facilitar a separação:
Queremos ter todos os termos com
de um lado e com
do outro.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
:
Agora, temos:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
Começando pelo lado direito:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado esquerdo:
Isso se simplifica para:
Como
e
são variáveis separadas, podemos tratar
como constante em relação a
.
Passo 6
Vamos resolver as integrais:
- Para
:
- Para
:
Então, combinando:
Podemos simplificar as constantes:
Passo 7
Vamos rearranjar a equação para facilitar a resolução:
Simplificando:
Passo 8
Aplicando a condição inicial
para encontrar a constante
:
Quando
:
Substituindo na equação:
Como
:
Resolvendo para
:
Passo 9
Substituindo
de volta na equação:
Fatorando
:
Para simplificar, podemos ajustar a equação para a forma apresentada na resposta esperada.
Resposta
A solução da equação diferencial é: