Nos problemas 8-10, resolva a equação diferencial dada, sujeita a condição inicial indicada.
(e^(-y)+1) sen(x) dx = (1+cos(x)) dy y(0)=0
Resp: (1 + cos(x))(1 + e^y) = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Esse tipo de problema envolve equações diferenciais, que são equações que relacionam uma função com suas derivadas. Para resolver, vamos precisar manipular a equação para separar as variáveis e e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para separar as variáveis. Vamos dividir ambos os lados por :
Mas isso ainda não está bem separado. Vamos reescrever a equação original para facilitar a separação:
Queremos ter todos os termos com de um lado e com do outro.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e :
Agora, temos:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
Começando pelo lado direito:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado esquerdo:
Isso se simplifica para:
Como e são variáveis separadas, podemos tratar como constante em relação a .

Passo 6

Vamos resolver as integrais:
  1. Para :
  1. Para :
Então, combinando:
Podemos simplificar as constantes:

Passo 7

Vamos rearranjar a equação para facilitar a resolução:
Simplificando:

Passo 8

Aplicando a condição inicial para encontrar a constante :
Quando :
Substituindo na equação:
Como :
Resolvendo para :

Passo 9

Substituindo de volta na equação:
Fatorando :
Para simplificar, podemos ajustar a equação para a forma apresentada na resposta esperada.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

Exercícios relacionados