Encontre uma solução em série para a equação y'' - x^2 y' + y = 0 em torno do ponto x = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial e queremos encontrar uma solução em série de potências centrada no ponto . Para resolver isso, vamos usar métodos de séries de potências, que são super úteis quando as soluções não são funções elementares. Precisamos lembrar dos conceitos de derivadas de séries e como substituir essas séries na equação original para encontrar os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de . A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:

Passo 4

Vamos substituir , e na equação diferencial original:
Substituindo as séries, temos:

Passo 5

Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas as séries tenham a mesma potência de . Vamos substituir por na primeira série e por na segunda série:

Passo 6

Agora, vamos combinar as séries em uma única soma:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 7

Então, para cada , temos a equação de recorrência:
Podemos rearranjar isso para encontrar :

Passo 8

Agora, precisamos de condições iniciais para determinar os coeficientes. Geralmente, assumimos e como constantes arbitrárias (digamos e ) e calculamos os demais coeficientes usando a relação de recorrência.
Vamos calcular alguns coeficientes:
Para :
Como não é definido, assumimos que é zero.
Para :
Novamente, .
Continuando esse processo, encontramos os coeficientes seguintes em termos de e .

Resposta

A solução em série para a equação diferencial em torno de é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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