Encontre uma solução em série para a equação
em torno do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
e queremos encontrar uma solução em série de potências centrada no ponto
. Para resolver isso, vamos usar métodos de séries de potências, que são super úteis quando as soluções não são funções elementares. Precisamos lembrar dos conceitos de derivadas de séries e como substituir essas séries na equação original para encontrar os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo as séries, temos:
Passo 5
Agora, vamos ajustar os índices das somas para que todas as séries tenham a mesma potência de
. Vamos substituir
por
na primeira série e
por
na segunda série:
Passo 6
Agora, vamos combinar as séries em uma única soma:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 7
Então, para cada
, temos a equação de recorrência:
Podemos rearranjar isso para encontrar
:
Passo 8
Agora, precisamos de condições iniciais para determinar os coeficientes. Geralmente, assumimos
e
como constantes arbitrárias (digamos
e
) e calculamos os demais coeficientes usando a relação de recorrência.
Vamos calcular alguns coeficientes:
Para
:
Como
não é definido, assumimos que é zero.
Para
:
Novamente,
.
Continuando esse processo, encontramos os coeficientes seguintes em termos de
e
.
Resposta
A solução em série para a equação diferencial
em torno de
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.