Encontre o limite. Use a Regra de l
lim x -2 (x^3+8)(x+3)(x+4)(x+5)(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x -2 (x^3+8)(x+3)(x+4)(x+5)(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)
Aqui, estamos trabalhando com limites e vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver. Precisaremos verificar se a substituição direta resulta em uma indeterminação, o que nos permitirá aplicar a regra.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver se temos uma indeterminação do tipo :
No numerador:




Então, o numerador é .
No denominador:




Então, o denominador é .
Como obtemos , podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que, se temos um limite da forma , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Derivar expressões polinomiais é direto, mas pode ser trabalhoso aqui devido ao produto. Uma alternativa mais simples é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos comuns antes de derivar.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador:
x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) é uma soma de cubos, que pode ser fatorada como:
(x + 2)(x^2 - 2x + 4)(x + 3)(x + 4)(x + 5)
Então, o numerador fica:
(x + 2)(x - 1)(x - 2)(x - 3)
O denominador já está fatorado como:

Passo 5

Agora, observamos que o fator (x^2 - 2x + 4)(x + 3)(x + 4)(x + 5)(x - 1)(x - 2)(x - 3) aparece tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esse termo, já que está se aproximando de -2, mas não exatamente -2.
Depois de cancelar, a expressão fica:

Passo 6

Agora, podemos substituir (-2)^2 - 2(-2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 diretamente nessa nova expressão, já que não teremos mais a indeterminação -2 + 3 = 1 :
Vamos calcular cada parte:
-2 + 4 = 2 com -2 + 5 = 3 :
-2 - 1 = -3
-2 - 2 = -4 com -2 - 3 = -5 :
com :
com :
No denominador:
com :
com :
com :

Resposta

Agora, substituindo todos os valores na expressão:
12 times 1 times 2 times 3(-3) times (-4) times (-5) = 72-60 = -65
Então, o limite é:
-65

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