Encontre o limite. Use a Regra de l
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites e vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver. Precisaremos verificar se a substituição direta resulta em uma indeterminação, o que nos permitirá aplicar a regra.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na expressão para ver se temos uma indeterminação do tipo
:
No numerador:
Então, o numerador é .
Então, o numerador é
No denominador:
Então, o denominador é .
Então, o denominador é
Como obtemos
, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que, se temos um limite da forma
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Vamos derivar o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Denominador:
Derivar expressões polinomiais é direto, mas pode ser trabalhoso aqui devido ao produto. Uma alternativa mais simples é fatorar o numerador e o denominador para cancelar termos comuns antes de derivar.
Passo 4
Vamos fatorar o numerador:
Então, o numerador fica:
O denominador já está fatorado como:
Passo 5
Agora, observamos que o fator
aparece tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esse termo, já que
está se aproximando de -2, mas não exatamente -2.
Depois de cancelar, a expressão fica:
Passo 6
Agora, podemos substituir
diretamente nessa nova expressão, já que não teremos mais a indeterminação
:
Vamos calcular cada parte:
No denominador:
Resposta
Agora, substituindo todos os valores na expressão:
Então, o limite é:
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Encontre uma solução em série para a equação
em torno do ponto
.
Encontre o limite. Use a Regra de l
Seja
(1) Esboce o gráfico de
.
(2) é derivável em
? Em caso afirmativo, calcule
.
(2)