f(x) = { x^2, se x <= 0; -x^2, se x > 0 }
(a) f é contínua em 0 ? Justifique.
(b) f é derivável em 0? Justifique.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado da questão. Temos uma função definida por partes:
Precisamos verificar:
(a) Se a função é contínua em .
(b) Se a função é derivável em .
Para resolver isso, vamos revisitar os conceitos de continuidade e derivabilidade de funções, além de calcular limites e derivadas.

Passo 2

Parte (a): Verificando a continuidade em .
A função é contínua em se o limite quando se aproxima de é igual ao valor da função em . Ou seja:
Nesse caso, . Então, precisamos calcular:
  1. (limite pela esquerda)
  2. (limite pela direita)

Passo 3

Calculando :
Como se enquadra na primeira parte da definição ( ):

Passo 4

Calculando :
Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Então:

Passo 5

Calculando :
Quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
Então:

Passo 6

Como:
Portanto, a função é contínua em .

Passo 7

Parte (b): Verificando a derivabilidade em .
Uma função é derivável em um ponto se o limite da diferença quociente existe e é o mesmo pela esquerda e pela direita. Ou seja:
Vamos calcular os limites pela esquerda e pela direita.

Passo 8

Calculando a derivada pela esquerda ( ):
Para , , então:
Diferença quociente:
Então:

Passo 9

Calculando a derivada pela direita ( ):
Para , , então:
Diferença quociente:
Então:

Passo 10

Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais:
Portanto, a função é derivável em , com derivada igual a 0.

Resposta

(a) Sim, é contínua em porque os limites à esquerda e à direita de são iguais ao valor da função em .
(b) Sim, é derivável em e sua derivada em vale .

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