(a)
é contínua em 0 ? Justifique.
(b)
é derivável em 0? Justifique.
(b)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado da questão. Temos uma função definida por partes:
Precisamos verificar:
(a) Se a função é contínua em
.
(b) Se a função é derivável em
.
(a) Se a função
(b) Se a função
Para resolver isso, vamos revisitar os conceitos de continuidade e derivabilidade de funções, além de calcular limites e derivadas.
Passo 2
Parte (a): Verificando a continuidade em
.
A função é contínua em
se o limite quando
se aproxima de
é igual ao valor da função em
. Ou seja:
Nesse caso,
. Então, precisamos calcular:
-
-
(limite pela esquerda) -
(limite pela direita)
Passo 3
Calculando
:
Como
se enquadra na primeira parte da definição (
):
Passo 4
Calculando
:
Quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
Então:
Passo 5
Calculando
:
Quando
se aproxima de 0 pela direita (
):
Então:
Passo 6
Como:
Portanto, a função
é contínua em
.
Passo 7
Parte (b): Verificando a derivabilidade em
.
Uma função é derivável em um ponto se o limite da diferença quociente existe e é o mesmo pela esquerda e pela direita. Ou seja:
Vamos calcular os limites pela esquerda e pela direita.
Passo 8
Calculando a derivada pela esquerda (
):
Para
,
, então:
Diferença quociente:
Então:
Passo 9
Calculando a derivada pela direita (
):
Para
,
, então:
Diferença quociente:
Então:
Passo 10
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais:
Portanto, a função
é derivável em
, com derivada igual a 0.
Resposta
(a) Sim,
é contínua em
porque os limites à esquerda e à direita de
são iguais ao valor da função em
.
(b) Sim,
é derivável em
e sua derivada em
vale
.
Exercícios relacionados
(a) Determine a solução geral da EDO quando
R.:
onde
e
são constantes. Mostre que:
(a) é solução da EDO de Euler-Cauchy e que as soluções satisfazem
(a)
(*)
, supondo
.
Para determinar uma solução da EDO por este método precisamos determinar:
i) Os valores de para os quais a EDO tem solução na forma de série em
. Esses valores surgem da resolução de uma equação algébrica de segundo grau, denominada equação indicial, cujas soluções
e
são chamadas raízes indiciais;
ii) A relação de recorrência para os (se possível);
ii) O intervalo de convergência da série.
No caso mais simples as soluções são dadas por e
se estas são linearmente independes, assim a solução geral é
. Com estas informações resolva as equações diferenciais:
(a)
Para determinar uma solução da EDO por este método precisamos determinar:
i) Os valores de
ii) A relação de recorrência para os
ii) O intervalo de convergência da série.
No caso mais simples as soluções são dadas por
(a)
Encontre uma solução em série para a equação
em torno do ponto
.