(*) , supondo .
Para determinar uma solução da EDO por este método precisamos determinar:
i) Os valores de para os quais a EDO tem solução na forma de série em . Esses valores surgem da resolução de uma equação algébrica de segundo grau, denominada equação indicial, cujas soluções e são chamadas raízes indiciais;
ii) A relação de recorrência para os (se possível);
ii) O intervalo de convergência da série.
No caso mais simples as soluções são dadas por e se estas são linearmente independes, assim a solução geral é . Com estas informações resolva as equações diferenciais:
(a)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
O objetivo é encontrar soluções para essa EDO utilizando o método das séries de potências. Para isso, vamos precisar:
  1. Determinar os valores de que satisfazem a equação indicial.
  2. Encontrar a relação de recorrência para os coeficientes .
  3. Verificar o intervalo de convergência da série encontrada.
Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Começamos assumindo que a solução pode ser expressa como uma série de potências centrada em :
Aqui, é um expoente que determinaremos e são os coeficientes da série que precisamos encontrar. Esse tipo de solução é útil quando a EDO tem coeficientes que são funções polinomiais de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Essas derivadas serão substituídas na EDO original.

Passo 4

Substituindo , e na EDO:
Simplificando cada termo:
  1. Multiplicando por :
  1. Multiplicando por :
  1. Multiplicando por :

Passo 5

Agora, combinamos todos os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Para combinar as séries, fazemos uma mudança de índice no último termo. Seja , então . Substituindo:
Reescrevendo a expressão geral:

Passo 6

Para que a equação seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, obtemos a equação de recorrência para :
Simplificando:

Passo 7

Para determinar os valores de , observamos os termos com menor potência de . Isso ocorre quando :
Fatorando (que não é zero):
Simplificando a equação:

Passo 8

Resolvemos a equação indicial usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:
Então,
As soluções são:

Passo 9

Agora, determinamos a relação de recorrência para os coeficientes . Usando a equação obtida no Passo 6:
Simplificando o denominador:
Para facilitar, mantemos a relação de recorrência como:

Passo 10

Finalmente, construímos as soluções gerais usando as raízes indiciais e , garantindo que sejam linearmente independentes. Assim, as soluções são:
onde os coeficientes e são determinados pela relação de recorrência encontrada.

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
onde e são constantes arbitrárias.

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