(*)
, supondo
.
Para determinar uma solução da EDO por este método precisamos determinar:
i) Os valores de
para os quais a EDO tem solução na forma de série em
. Esses valores surgem da resolução de uma equação algébrica de segundo grau, denominada equação indicial, cujas soluções
e
são chamadas raízes indiciais;
ii) A relação de recorrência para os
(se possível);
ii) O intervalo de convergência da série.
No caso mais simples as soluções são dadas por
e
se estas são linearmente independes, assim a solução geral é
. Com estas informações resolva as equações diferenciais:
(a)
Para determinar uma solução da EDO por este método precisamos determinar:
i) Os valores de
ii) A relação de recorrência para os
ii) O intervalo de convergência da série.
No caso mais simples as soluções são dadas por
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
O objetivo é encontrar soluções para essa EDO utilizando o método das séries de potências. Para isso, vamos precisar:
- Determinar os valores de
que satisfazem a equação indicial. - Encontrar a relação de recorrência para os coeficientes
. - Verificar o intervalo de convergência da série encontrada.
Vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Começamos assumindo que a solução
pode ser expressa como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
é um expoente que determinaremos e
são os coeficientes da série que precisamos encontrar. Esse tipo de solução é útil quando a EDO tem coeficientes que são funções polinomiais de
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Essas derivadas serão substituídas na EDO original.
Passo 4
Substituindo
,
e
na EDO:
Simplificando cada termo:
- Multiplicando por
:
- Multiplicando por
:
- Multiplicando por
:
Passo 5
Agora, combinamos todos os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Para combinar as séries, fazemos uma mudança de índice no último termo. Seja
, então
. Substituindo:
Reescrevendo a expressão geral:
Passo 6
Para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Assim, obtemos a equação de recorrência para
:
Simplificando:
Passo 7
Para determinar os valores de
, observamos os termos com menor potência de
. Isso ocorre quando
:
Fatorando
(que não é zero):
Simplificando a equação:
Passo 8
Resolvemos a equação indicial
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Então,
As soluções são:
Passo 9
Agora, determinamos a relação de recorrência para os coeficientes
. Usando a equação obtida no Passo 6:
Simplificando o denominador:
Para facilitar, mantemos a relação de recorrência como:
Passo 10
Finalmente, construímos as soluções gerais usando as raízes indiciais
e
, garantindo que sejam linearmente independentes. Assim, as soluções são:
onde os coeficientes
e
são determinados pela relação de recorrência encontrada.
Resposta
A solução geral da EDO é dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
(a)
é contínua em 0 ? Justifique.
(b) é derivável em 0? Justifique.
(b)
(a) Determine a solução geral da EDO quando
R.:
Encontre uma solução em série para a equação
em torno do ponto
.
quilocalorias por dia.
(a) Determine a taxa de variação do metabolismo basal de uma onça de 80 kg que está ganhando massa à taxa de por dia.
(b) Determine a taxa de variação do metabolismo basal de uma avestruz de 50 kg que está perdendo massa a taxa de por dia.
(a) Determine a taxa de variação do metabolismo basal de uma onça de 80 kg que está ganhando massa à taxa de
(b) Determine a taxa de variação do metabolismo basal de uma avestruz de 50 kg que está perdendo massa a taxa de