(*) y=(x-x0)^r sumn=0^infty an(x-x0)^n=sumn=0^infty an(x-x0)^n+r, supondo a0 neq 0.
Para determinar uma solução da EDO por este método precisamos determinar:
i) Os valores de r para os quais a EDO tem solução na forma de série em (^*). Esses valores surgem da resolução de uma equação algébrica de segundo grau, denominada equação indicial, cujas soluções r1 e r2 são chamadas raízes indiciais;
ii) A relação de recorrência para os an (se possível);
ii) O intervalo de convergência da série.
No caso mais simples as soluções são dadas por y1=(x-x0)^r1 sumn=0^infty an(x-x0)^n e y2=(x-x0)^r2 sumn=0^infty an(x-x0)^n se estas são linearmente independes, assim a solução geral é y(x)=C1 y1(x)+C2 y2(x). Com estas informações resolva as equações diferenciais:
(a) 2 x^2 y^prime prime+3 x y^prime+(2 x^2-1) y=0
R: y(x)=C1 x^12 sumn=0^infty(-1)^n 3n!3 cdot 7 cdot 11 cdot 15 cdots(4 n+3) x^2 n+C2 x^-1(1+sumn=1^infty (-1)^nn!1 cdot 5 cdot 9 cdots(4 n-3) x^2 n)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
2 x^2 y'' + 3 x y' + (2 x^2 - 1) y = 0
O objetivo é encontrar soluções para essa EDO utilizando o método das séries de potências. Para isso, vamos precisar:
  1. Determinar os valores de que satisfazem a equação indicial.
  2. Encontrar a relação de recorrência para os coeficientes .
  3. Verificar o intervalo de convergência da série encontrada.
Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Começamos assumindo que a solução y = x^r sumn=0^infty an x^n = sumn=0^infty an x^n + r pode ser expressa como uma série de potências centrada em :
Aqui, é um expoente que determinaremos e são os coeficientes da série que precisamos encontrar. Esse tipo de solução é útil quando a EDO tem coeficientes que são funções polinomiais de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de y' = sumn=0^infty an (n + r) x^n + r - 1 :
Primeira derivada:
y'' = sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r - 2
Segunda derivada:
Essas derivadas serão substituídas na EDO original.

Passo 4

Substituindo 2x^2 ( sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r - 2 ) + 3x ( sumn=0^infty an (n + r) x^n + r - 1 ) + (2x^2 - 1) ( sumn=0^infty an x^n + r ) = 0 , 2 sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r e 3 sumn=0^infty an (n + r) x^n + r na EDO:
2 sumn=0^infty an x^n + r + 2 - sumn=0^infty an x^n + r
Simplificando cada termo:
  1. Multiplicando por :
  1. Multiplicando por :
  1. Multiplicando por :

Passo 5

Agora, combinamos todos os termos:
2 sumn=0^infty an (n + r)(n + r - 1) x^n + r + 3 sumn=0^infty an (n + r) x^n + r + 2 sumn=0^infty an x^n + r + 2 - sumn=0^infty an x^n + r = 0
Agrupando os termos semelhantes:
sumn=0^infty [ 2an (n + r)(n + r - 1) + 3an (n + r) - an ] x^n + r + 2 sumn=0^infty an x^n + r + 2 = 0
Para combinar as séries, fazemos uma mudança de índice no último termo. Seja 2 summ=2^infty am - 2 x^m + r , então sumn=0^infty [ 2an (n + r)(n + r - 1) + 3an (n + r) - an ] x^n + r + 2 sumn=2^infty an - 2 x^n + r = 0 . Substituindo:
Reescrevendo a expressão geral:

Passo 6

Para que a equação seja válida para todo 2an (n + r)(n + r - 1) + 3an (n + r) - an + 2an - 2 = 0 , os coeficientes de cada potência de 2an (n + r)(n + r - 1) + 3an (n + r) - an = -2an - 2 devem ser iguais a zero. Assim, obtemos a equação de recorrência para an [2(n + r)(n + r - 1) + 3(n + r) - 1] = -2an - 2 :
Simplificando:

Passo 7

Para determinar os valores de 2a0 r(r - 1) + 3a0 r - a0 = 0 , observamos os termos com menor potência de 2r(r - 1) + 3r - 1 = 0 . Isso ocorre quando 2r^2 - 2r + 3r - 1 = 0 :
2r^2 + r - 1 = 0
Fatorando (que não é zero):
Simplificando a equação:

Passo 8

Resolvemos a equação indicial r = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
De
Aqui, r = -1 pm raiz94 = -1 pm 34 , r1 = 24 = 12 e r2 = -44 = -1 . Calculando o discriminante:
Então,
As soluções são:

Passo 9

Agora, determinamos a relação de recorrência para os coeficientes an = -2an - 22(n + r)(n + r - 1) + 3(n + r) - 1 . Usando a equação obtida no Passo 6:
2(n + r)(n + r - 1) + 3(n + r) - 1 = 2(n + r)^2 - 2(n + r) + 3(n + r) - 1 = 2(n + r)^2 + ( -2 + 3)(n + r) -1 = 2(n + r)^2 + n + r -1
Simplificando o denominador:
an = -2an - 22(n + r)(n + r - 1) + 3(n + r) - 1
Para facilitar, mantemos a relação de recorrência como:

Passo 10

Finalmente, construímos as soluções gerais usando as raízes indiciais y1(x) = x^12 sumn=0^infty an x^n e y2(x) = x^-1 sumn=0^infty bn x^n , garantindo que sejam linearmente independentes. Assim, as soluções são:
onde os coeficientes e são determinados pela relação de recorrência encontrada.

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
y(x) = C1 x^12 sumn=0^infty (-1)^n 3n! cdot 3 cdot 7 cdot 11 cdot 15 cdots (4n + 3) x^2n + C2 x^-1 (1 + sumn=1^infty (-1)^nn! cdot 1 cdot 5 cdot 9 cdots (4n - 3) x^2n )
onde e são constantes arbitrárias.

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