Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Basicamente, esse método nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução, especialmente quando é mais fácil integrar em relação a uma variável específica. Vamos precisar entender como as cascas cilíndricas funcionam e como configurar a integral para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar as curvas para entender a região que vamos girar. A curva é uma parábola que abre para baixo. Vamos encontrar os pontos onde ela intercepta o eixo ():
Então, a região limitada é entre e sob a parábola.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método das cascas cilíndricas. Esse método consiste em imaginar a região sendo dividida em pequenos retângulos verticais, que, ao girar em torno do eixo , formam cascas cilíndricas. A fórmula para o volume pelo método das cascas é:
Onde:
é a distância do retângulo ao eixo de rotação (eixo neste caso).
é a altura do retângulo, que é a diferença entre as funções superiores e inferiores.
e são os limites de integração (0 e 2 aqui).
Passo 4
Vamos identificar . Como estamos girando em torno do eixo , a altura do retângulo é a diferença entre e :