Encontre as soluções do PVI
y'' + e^t y' + cos(t) y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que você me mandou! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E as condições iniciais são:
O conteúdo principal aqui é equações diferenciais ordinárias (EDOs) de segunda ordem com coeficientes não constantes. Para resolver, vamos precisar entender se existe uma solução não trivial ou se a única solução possível é a trivial, que é .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que essa é uma equação diferencial linear homogênea. Isso significa que todos os termos da equação têm a função ou suas derivadas, e não há termos independentes. Em casos assim, uma coisa importante é que se todas as condições iniciais forem zero, muitas vezes a única solução possível é a trivial, ou seja, .

Passo 3

Vamos pensar nisso de forma mais matemática. Para uma equação diferencial linear homogênea, se você tem condições iniciais todas iguais a zero, isso geralmente força a solução a ser zero para todo o intervalo. Isso acontece porque não há “força” ou “entrada” externa para gerar uma solução diferente de zero.

Passo 4

Vamos aplicar isso diretamente às nossas condições iniciais:
  1. : Isso nos diz que, no tempo , a função passa pelo ponto zero.
  2. : Isso significa que a inclinação da função no tempo também é zero.
Como não temos nenhuma “força” externa na equação que possa iniciar o movimento da função, a única função que satisfaz essas condições iniciais e a equação dada é a função trivial .

Passo 5

Para ter certeza, podemos substituir na equação original e verificar se ela satisfaz:
Substituindo :
Vemos que a igualdade se mantém, confirmando que é realmente uma solução.

Resposta

A única solução que satisfaz o problema é .

Exercícios relacionados

(8) Encontre a solução geral da equação
y'' - 10y' + 25y = 0
e determine a solução y = y(t) dessa EDO que satisfaz a condição y(0) = 1 e y'(0) = 0.
(5) Encontre a solução geral da equação
y'' - 2y' + 2y = 0
e determine a solução y = y(t) dessa EDO que satisfaz a condição y(0) = 1 e y'(0) = 0.
Derive.
y = cos(x) / (1 - sen(x))
Qual é o maior valor negativo de x atingido pelo corpo?