Encontre as soluções do PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que você me mandou! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
E as condições iniciais são:
O conteúdo principal aqui é equações diferenciais ordinárias (EDOs) de segunda ordem com coeficientes não constantes. Para resolver, vamos precisar entender se existe uma solução não trivial ou se a única solução possível é a trivial, que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que essa é uma equação diferencial linear homogênea. Isso significa que todos os termos da equação têm a função
ou suas derivadas, e não há termos independentes. Em casos assim, uma coisa importante é que se todas as condições iniciais forem zero, muitas vezes a única solução possível é a trivial, ou seja,
.
Passo 3
Vamos pensar nisso de forma mais matemática. Para uma equação diferencial linear homogênea, se você tem condições iniciais todas iguais a zero, isso geralmente força a solução a ser zero para todo o intervalo. Isso acontece porque não há “força” ou “entrada” externa para gerar uma solução diferente de zero.
Passo 4
Vamos aplicar isso diretamente às nossas condições iniciais:
-
: Isso nos diz que, no tempo , a função passa pelo ponto zero. -
: Isso significa que a inclinação da função no tempo também é zero.
Como não temos nenhuma “força” externa na equação que possa iniciar o movimento da função, a única função que satisfaz essas condições iniciais e a equação dada é a função trivial
.
Passo 5
Para ter certeza, podemos substituir
na equação original e verificar se ela satisfaz:
Substituindo
:
Vemos que a igualdade se mantém, confirmando que
é realmente uma solução.
Resposta
A única solução que satisfaz o problema é
.
Exercícios relacionados
(8) Encontre a solução geral da equação
e determine a solução
dessa EDO que satisfaz a condição
e
.
(5) Encontre a solução geral da equação
e determine a solução
dessa EDO que satisfaz a condição
e
.
Derive.
Qual é o maior valor negativo de
atingido pelo corpo?