(5) Encontre a solução geral da equação
e determine a solução
dessa EDO que satisfaz a condição
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que precisamos resolver. A gente tem a equação diferencial
e precisa encontrar a solução geral dela. Depois, vamos determinar a solução específica que atende às condições
e
. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a equação característica, encontrar suas raízes e montar a solução geral. Depois, aplicamos as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. A forma geral para uma equação do tipo
é substituir
, o que nos leva à equação característica
. No nosso caso, a equação é
, então a equação característica será:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos raízes complexas
.
Passo 4
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
onde
e
. Portanto, a solução geral fica:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
. Primeiro, aplicamos
:
Então,
.
Passo 6
Em seguida, vamos calcular a derivada de
para aplicar a segunda condição
:
Aplicando
:
Como
, temos:
Resposta
A solu��ão da equação diferencial que satisfaz as condições iniciais é:
Exercícios relacionados
A aresta de um cubo tem
cm, com um possível erro de medida de
cm. Use diferenciais para estimar o erro possível no cálculo:
(b) da área da superfície do cubo.
(b) da área da superfície do cubo.
(8) Encontre a solução geral da equação
e determine a solução
dessa EDO que satisfaz a condição
e
.
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