(8) Encontre a solução geral da equação
y'' - 10y' + 25y = 0
e determine a solução y = y(t) dessa EDO que satisfaz a condição y(0) = 1 e y'(0) = 0.

Passo 1

Então, a gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e depois descobrir a solução específica que satisfaz as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à EDO. Isso é feito substituindo por , por e por 1. Assim, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 4

Com uma raiz dupla, a solução geral da EDO é dada por:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais e .
Primeiro, substituindo em :
Agora, calculamos a derivada de :
Substituindo e :

Resposta

A solução da EDO que satisfaz as condições dadas é:

Exercícios relacionados

(5) Encontre a solução geral da equação
y'' - 2y' + 2y = 0
e determine a solução y = y(t) dessa EDO que satisfaz a condição y(0) = 1 e y'(0) = 0.
A aresta de um cubo tem B cm, com um possível erro de medida de 0,1 * A cm. Use diferenciais para estimar o erro possível no cálculo:
(b) da área da superfície do cubo.
Encontre as soluções do PVI
y'' + e^t y' + cos(t) y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 0
Derive.
y = cos(x) / (1 - sen(x))