(8) Encontre a solução geral da equação
e determine a solução
dessa EDO que satisfaz a condição
e
.
Passo 1
Então, a gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e depois descobrir a solução específica que satisfaz as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à EDO. Isso é feito substituindo
por
,
por
e
por 1. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 4
Com uma raiz dupla, a solução geral da EDO é dada por:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais
e
.
Primeiro, substituindo
em
:
Agora, calculamos a derivada de
:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução da EDO que satisfaz as condições dadas é:
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(5) Encontre a solução geral da equação
e determine a solução
dessa EDO que satisfaz a condição
e
.
A aresta de um cubo tem
cm, com um possível erro de medida de
cm. Use diferenciais para estimar o erro possível no cálculo:
(b) da área da superfície do cubo.
(b) da área da superfície do cubo.
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Derive.