Encontre a soma das séries abaixo, se possível.
(b) sumn=1^infty 5(5 n+2)(5 n+7)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar a soma de uma série infinita dada por:
sumn=1^infty 5(5n+2)(5n+7)
Para resolver isso, vamos precisar usar o conteúdo de frações parciais e séries telescópicas. Esses métodos nos ajudam a simplificar e somar termos de séries mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 5(5n+2)(5n+7) = A5n+2 + B5n+7 em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de duas frações mais simples:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de 5 = A(5n+7) + B(5n+2) e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 4

Agora, vamos expandir e agrupar os termos:
5 = A cdot 5n + 7A + B cdot 5n + 2B
5 = (5A + 5B)n + (7A + 2B)
Como os dois lados da equação devem ser iguais para todos os valores de 5A + 5B = 0 (coeficiente de n) , podemos igualar os coeficientes dos termos correspondentes:
7A + 2B = 5 (termo constante)

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar 5A + 5B = 0 Rightarrow A + B = 0 Rightarrow B = -A e 7A + 2(-A) = 5 Rightarrow 7A - 2A = 5 Rightarrow 5A = 5 Rightarrow A = 1 .
Da primeira equação:
B = -1
Substituindo na segunda equação:
Então:

Passo 6

Agora que encontramos sumn=1^infty 5(5n+2)(5n+7) = sumn=1^infty ( 15n+2 - 15n+7 ) e , podemos reformular a série original usando essas constantes:

Passo 7

Observamos que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos os termos sucessivos. Vamos ver isso escrevendo os primeiros termos:
Para 17 - 112 :
112 - 117
Para 117 - 122 :
Para :
E assim por diante. Vemos que cancela com , com , etc.

Passo 8

Por ser uma série telescópica, a soma total fica apenas com os primeiros termos não cancelados:
sumn=1^infty ( 15n+2 - 15n+7 ) = 17 - limn to infty 15n+7
Como 17 - 0 = 17 , a soma da série é:

Resposta

A soma da série é .

Exercícios relacionados

Usando o teste de D (h) sumn=1^infty n+1n 4^n
Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.
(3y^2 + 10xy^2) dx + (6xy - 2 + 10x^2y) dy = 0
Se z = 5 x^2 + y^2 e (x, y) varia de 1,2 para (1.05, 2.1), escreva os valores de Delta z e d z.
Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.
1/((x-y)^{2})*(y^{2} dx+x^{2} dy) = 0