Encontre a soma das séries abaixo, se possível.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que encontrar a soma de uma série infinita dada por:
Para resolver isso, vamos precisar usar o conteúdo de frações parciais e séries telescópicas. Esses métodos nos ajudam a simplificar e somar termos de séries mais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de duas frações mais simples:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Passo 4
Agora, vamos expandir e agrupar os termos:
Como os dois lados da equação devem ser iguais para todos os valores de
, podemos igualar os coeficientes dos termos correspondentes:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar
e
.
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Então:
Passo 6
Agora que encontramos
e
, podemos reformular a série original usando essas constantes:
Passo 7
Observamos que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam quando somamos os termos sucessivos. Vamos ver isso escrevendo os primeiros termos:
Para
:
Para
:
Para
:
E assim por diante. Vemos que
cancela com
,
com
, etc.
Passo 8
Por ser uma série telescópica, a soma total fica apenas com os primeiros termos não cancelados:
Como
, a soma da série é:
Resposta
A soma da série é
.
Exercícios relacionados
Usando o teste de D (h)
Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.
Se
e
varia de
para (1.05, 2.1), escreva os valores de
e
.
Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.