Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.
(3y^2 + 10xy^2) dx + (6xy - 2 + 10x^2y) dy = 0

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com equações diferenciais exatas, que fazem parte do estudo de Cálculo Diferencial. O objetivo aqui é verificar se a equação dada é exata e, se for, encontrar a solução geral dela. Para isso, vamos precisar identificar as funções que acompanham e na equação e aplicar a condição de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. A equação dada é:
Aqui, podemos ver que:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. A condição para uma equação diferencial da forma ser exata é que a derivada parcial de em relação a seja igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja:

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 6

Comparando as duas derivadas parciais:
Como elas são iguais, a equação é exata.

Passo 7

Como a equação é exata, podemos encontrar a solução geral integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que ainda precisamos determinar.

Passo 8

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Igualando a :

Passo 9

Simplificando a equação acima:
Cancelando os termos iguais:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração.

Passo 10

Agora, substituímos na expressão de :
A solução geral da equação diferencial é dada por , onde é uma constante. Portanto:

Resposta

A solução geral da equação é:

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