Verifique se as equações abaixo são exatas, e, em caso afirmativo, determine a solução geral.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com equações diferenciais exatas, que fazem parte do estudo de Cálculo Diferencial. O objetivo aqui é verificar se a equação dada é exata e, se for, encontrar a solução geral dela. Para isso, vamos precisar identificar as funções que acompanham
e
na equação e aplicar a condição de exatidão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. A equação dada é:
Aqui, podemos ver que:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. A condição para uma equação diferencial da forma
ser exata é que a derivada parcial de
em relação a
seja igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja:
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 6
Comparando as duas derivadas parciais:
Como elas são iguais, a equação é exata.
Passo 7
Como a equação é exata, podemos encontrar a solução geral integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que ainda precisamos determinar.
Passo 8
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando a
:
Passo 9
Simplificando a equação acima:
Cancelando os termos iguais:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 10
Agora, substituímos
na expressão de
:
A solução geral da equação diferencial é dada por
, onde
é uma constante. Portanto:
Resposta
A solução geral da equação é:
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(b)
(b)