Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função . Para resolver isso, vamos usar um pouco de Cálculo Multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar os pontos críticos da função. Esses pontos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 3

Da equação (2), sabemos que quando , onde é qualquer número inteiro. Então, os valores críticos de são .
Substituindo na equação (1):
Sabemos que , que nunca é zero. Então, para que a multiplicação dê zero, precisa ser zero. Portanto, os pontos críticos são:

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
O determinante do Hessiano é dado por:
Substituindo nos pontos críticos :

Passo 5

Como o determinante é menor que zero, isso nos diz que cada ponto crítico é um ponto de sela.
Não existem máximos ou mínimos locais para essa função.

Resposta

Todos os pontos críticos da função são pontos de sela localizados em , onde é qualquer número inteiro. Não há máximos ou mínimos locais.

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a) ;