Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
. Para resolver isso, vamos usar um pouco de Cálculo Multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar os pontos críticos da função. Esses pontos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 3
Da equação (2), sabemos que
quando
, onde
é qualquer número inteiro. Então, os valores críticos de
são
.
Substituindo
na equação (1):
Sabemos que
, que nunca é zero. Então, para que a multiplicação dê zero,
precisa ser zero. Portanto, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
O determinante do Hessiano é dado por:
Substituindo nos pontos críticos
:
Passo 5
Como o determinante
é menor que zero, isso nos diz que cada ponto crítico
é um ponto de sela.
Não existem máximos ou mínimos locais para essa função.
Resposta
Todos os pontos críticos da função
são pontos de sela localizados em
, onde
é qualquer número inteiro. Não há máximos ou mínimos locais.
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a)
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. Sabendo que o potencial elétrico na posição
é
, calcule o potencial elétrico nas regiões:
a) ;
a)