Encontre todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela das funções abaixo:
(c) f(x, y)=y sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar todos os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função . Para resolver isso, vamos usar um pouco de Cálculo Multivariável, especificamente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar os pontos críticos da função. Esses pontos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a fx = partial fpartial x = y cos(x) e fy = partial fpartial y = sin(x) são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
fx = y cos(x) = 0 (1)
fy = sin(x) = 0 (2)
Agora, igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 3

Da equação (2), sabemos que y cos(npi) = 0 quando (x, y) = (npi, 0) , onde é qualquer número inteiro. Então, os valores críticos de são .
Substituindo na equação (1):
Sabemos que , que nunca é zero. Então, para que a multiplicação dê zero, precisa ser zero. Portanto, os pontos críticos são:

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada. Para isso, calculamos as segundas derivadas parciais:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = -y sin(x)
fxy = partial^2 fpartial x partial y = cos(x)
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 0
O determinante do Hessiano é dado por:
D = fxx fyy - (fxy)^2
Substituindo nos pontos críticos D = (-0) cdot 0 - (cos(npi))^2 = -(cos(npi))^2 = -1 :

Passo 5

Como o determinante é menor que zero, isso nos diz que cada ponto crítico é um ponto de sela.
Não existem máximos ou mínimos locais para essa função.

Resposta

Todos os pontos críticos da função são pontos de sela localizados em , onde é qualquer número inteiro. Não há máximos ou mínimos locais.

Exercícios relacionados