Uma casca esférica não condutora de raio interno e raio externo é uniformemente carregada. Sabendo que o potencial elétrico na posição é , calcule o potencial elétrico nas regiões:
a) ,

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica não condutora com raio interno e raio externo , carregada de forma uniforme. O potencial elétrico na posição é dado por . Precisamos calcular o potencial elétrico na região onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Gauss e a relação entre densidade de carga e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição de carga esférica com simetria, o potencial elétrico pode ser encontrado usando a relação:
Mas, devido à simetria, podemos simplificar usando a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico antes de integrar para achar o potencial.

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico dentro da região , vamos aplicar a lei de Gauss. Imaginem uma superfície gaussiana esférica de raio . Como toda a carga está entre e , não há carga dentro dessa superfície gaussiana. Portanto, pelo teorema de Gauss:
Isso nos diz que o campo elétrico dentro dessa região é zero.

Passo 4

Com o campo elétrico para , podemos determinar o potencial elétrico nessa região. Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:
Como , a derivada do potencial em relação a também é zero, ou seja:
Isso implica que o potencial é constante dentro da região .

Passo 5

Para encontrar o valor dessa constante, usamos a informação dada na questão: o potencial na superfície externa é . Como o potencial é contínuo, o potencial dentro da região deve ser o mesmo que o potencial na superfície externa. Logo:

Resposta

O potencial elétrico na região é

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a) ;
Uma casca esférica não condutora de raio interno e raio externo é uniformemente carregada. Sabendo que o potencial elétrico na posição é , calcule o potencial elétrico nas regiões:
b) ,