Uma casca esférica não condutora de raio interno a e raio externo 2 a é uniformemente carregada. Sabendo que o potencial elétrico na posição r=2 a é V=rho0 a^23 varepsilon0, calcule o potencial elétrico nas regiões:
a) r,

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica não condutora com raio interno a e raio externo 2 a, carregada de forma uniforme. O potencial elétrico na posição r=2 a é dado por V=rho0 a^23 varepsilon0. Precisamos calcular o potencial elétrico na região onde r < a. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Gauss e a relação entre densidade de carga e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição de carga esférica com simetria, o potencial elétrico V(r) pode ser encontrado usando a relação:
V(r) = 14pivarepsilon0 integral rho(r')|r - r'| dV'
Mas, devido à simetria, podemos simplificar usando a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico antes de integrar para achar o potencial.

Passo 3

Para encontrar o campo elétrico dentro da região r < a, vamos aplicar a lei de Gauss. Imaginem uma superfície gaussiana esférica de raio r < a. Como toda a carga está entre a e 2a, não há carga dentro dessa superfície gaussiana. Portanto, pelo teorema de Gauss:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 = 0
Isso nos diz que o campo elétrico E(r) dentro dessa região é zero.

Passo 4

Com o campo elétrico E(r) = 0 para r < a, podemos determinar o potencial elétrico nessa região. Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:
E = -nabla V
Como E(r) = 0, a derivada do potencial em relação a r também é zero, ou seja:
dVdr = 0
Isso implica que o potencial V(r) é constante dentro da região r < a.

Passo 5

Para encontrar o valor dessa constante, usamos a informação dada na questão: o potencial na superfície externa r = 2a é V = rho0 a^23 varepsilon0. Como o potencial é contínuo, o potencial dentro da região r < a deve ser o mesmo que o potencial na superfície externa. Logo:
V(r) = rho0 a^23 varepsilon0, para r < a

Resposta

O potencial elétrico na região r < a é
V(r) = rho0 a^23 varepsilon0

Exercícios relacionados