Uma casca esférica não condutora de raio interno
e raio externo
é uniformemente carregada. Sabendo que o potencial elétrico na posição
é
, calcule o potencial elétrico nas regiões:
a)
,
a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica não condutora com raio interno
e raio externo
, carregada de forma uniforme. O potencial elétrico na posição
é dado por
. Precisamos calcular o potencial elétrico na região onde
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a lei de Gauss e a relação entre densidade de carga e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição de carga esférica com simetria, o potencial elétrico
pode ser encontrado usando a relação:
Mas, devido à simetria, podemos simplificar usando a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico antes de integrar para achar o potencial.
Passo 3
Para encontrar o campo elétrico dentro da região
, vamos aplicar a lei de Gauss. Imaginem uma superfície gaussiana esférica de raio
. Como toda a carga está entre
e
, não há carga dentro dessa superfície gaussiana. Portanto, pelo teorema de Gauss:
Isso nos diz que o campo elétrico
dentro dessa região é zero.
Passo 4
Com o campo elétrico
para
, podemos determinar o potencial elétrico nessa região. Sabemos que o potencial é relacionado ao campo elétrico pela relação:
Como
, a derivada do potencial em relação a
também é zero, ou seja:
Isso implica que o potencial
é constante dentro da região
.
Passo 5
Para encontrar o valor dessa constante, usamos a informação dada na questão: o potencial na superfície externa
é
. Como o potencial é contínuo, o potencial dentro da região
deve ser o mesmo que o potencial na superfície externa. Logo:
Resposta
O potencial elétrico na região
é
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é carregada e colocada no interior de uma casca esférica condutora de raio interno
e raio externo
. A casca esférica é carregada com densidade de carga uniforme
. Sabendo que o potencial elétrico na posição
é
, calcule o potencial elétrico nas regiões:
a) ;
a)
Uma casca esférica não condutora de raio interno
e raio externo
é uniformemente carregada. Sabendo que o potencial elétrico na posição
é
, calcule o potencial elétrico nas regiões:
b) ,
b)