Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar todos os pontos onde as duas curvas e se encontram. Isso envolve conhecimentos de trigonometria e coordenadas polares. Vamos usar essas ferramentas para descobrir onde essas curvas se interceptam.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os pontos de interseção, precisamos igualar as duas equações das curvas:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de . Podemos dividir os dois lados por (desde que ):

Passo 4

Sabemos que quando , onde é qualquer inteiro. Então, temos:

Passo 5

Vamos encontrar os valores de que estão no intervalo de a . Como o período de é , vamos considerar valores de que gerem dentro desse intervalo. Escolhendo , temos:
Simplificando algumas dessas frações:

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor de para cada um desses . Podemos usar qualquer uma das duas equações originais, vou usar :
Repetindo isso para cada :

Resposta

Os pontos de interseção das curvas e são:

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.
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