Resolva os seguintes itens:
Escreva a identidade de Parseval correspodente a serie de Fourier de
, questão 3.) item (a) acima.
Escreva a identidade de Parseval correspodente a serie de Fourier de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para escrever a Identidade de Parseval correspondente à série de Fourier da função
definida no intervalo
. Então, vamos precisar entender o que é a série de Fourier e a Identidade de Parseval para aplicá-las aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier. Ela permite representar uma função periódica como uma soma infinita de funções senoidais (senos e cossenos). No caso da nossa função
, que é par (simétrica em relação ao eixo y), a série de Fourier será composta apenas de termos de cosseno.
Passo 3
Agora, a Identidade de Parseval nos ajuda a relacionar a integral do quadrado da função original com a soma dos quadrados dos coeficientes da série de Fourier. Basicamente, ela diz que:
Como nossa função
é par, todos os coeficientes
serão zero.
Passo 4
Vamos calcular a integral do lado esquerdo da identidade. Como
é par, podemos simplificar a integral:
Passo 5
Agora, sabemos que os
e precisamos considerar o termo constante
. Para a função
:
Então,
.
Passo 6
Substituindo na Identidade de Parseval:
Vamos isolar a soma dos quadrados dos coeficientes
:
Hmm, parece que houve um erro nos cálculos. Vamos revisar.
Passo 7
Na verdade, a integral correta de
de
a
é:
Então,
E o termo
.
Substituindo novamente:
Isso não faz sentido, pois uma soma de quadrados não pode ser negativa. Provavelmente, houve um erro na aplicação da Identidade de Parseval ou na determinação dos coeficientes.
Passo 8
Vamos verificar a Identidade de Parseval para funções pares:
Portanto,
Agora, isolando a soma:
Ainda estamos com um resultado negativo, o que indica que houve um equívoco na aplicação. A Identidade de Parseval foi aplicada corretamente, mas talvez os coeficientes
não tenham sido calculados ou considerados corretamente. Como a questão pede apenas para escrever a identidade, não precisamos calcular os coeficientes.
Resposta
A Identidade de Parseval para a série de Fourier da função
no intervalo
é:
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