Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
sigma(t) = (t^2 - 1, 2, t), t em [0, +infinito).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer um esboço da curva definida pela função vetorial para valores de t a partir de 0 até o infinito. Isso envolve entender coordenadas no espaço 3D e como cada componente de sigma(t) influencia a forma da curva. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e representação de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada componente da função vetorial:
  • A primeira componente é . Isso nos mostra que, conforme t aumenta, o valor de x segue uma parábola.
  • A segunda componente é . Isso significa que o valor de y é sempre 2, independentemente do valor de t. Ou seja, a curva está sempre no plano .
  • A terceira componente é . Aqui, z aumenta linearmente com t.

Passo 3

Como a componente y é constante (sempre igual a 2), a curva estará restrita ao plano horizontal onde . Agora, vamos relacionar x e z:
Sabemos que , então podemos expressar x em termos de z substituindo t por z:
Isso nos dá a equação , que é a equação de uma parábola que abre para o lado positivo do eixo x.

Passo 4

Agora, vamos visualizar a curva:
  • Como , para cada valor de z, temos um valor correspondente de x. Isso forma uma parábola no plano .
  • O valor de y não muda, então toda a curva está “espalmada” nesse plano específico.
  • A curva começa no ponto onde : , e conforme t aumenta, a curva se estende para a direita e para cima no espaço.

Resposta

A curva definida pela função vetorial , para , é uma parábola que está restrita ao plano no espaço tridimensional. A parábola abre para o lado positivo do eixo x, começando no ponto e estendendo-se indefinidamente conforme t aumenta.

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