Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer um esboço da curva definida pela função vetorial
para valores de
a partir de 0 até o infinito. Isso envolve entender coordenadas no espaço 3D e como cada componente de
influencia a forma da curva. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e representação de curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada componente da função vetorial:
- A primeira componente é
. Isso nos mostra que, conforme aumenta, o valor de segue uma parábola. - A segunda componente é
. Isso significa que o valor de é sempre 2, independentemente do valor de . Ou seja, a curva está sempre no plano . - A terceira componente é
. Aqui, aumenta linearmente com .
Passo 3
Como a componente
é constante (sempre igual a 2), a curva estará restrita ao plano horizontal onde
. Agora, vamos relacionar
e
:
Sabemos que
, então podemos expressar
em termos de
substituindo
por
:
Isso nos dá a equação
, que é a equação de uma parábola que abre para o lado positivo do eixo
.
Passo 4
Agora, vamos visualizar a curva:
- Como
, para cada valor de , temos um valor correspondente de . Isso forma uma parábola no plano . - O valor de
não muda, então toda a curva está “espalmada” nesse plano específico. - A curva começa no ponto onde
: , e conforme aumenta, a curva se estende para a direita e para cima no espaço.
Resposta
A curva definida pela função vetorial
, para
, é uma parábola que está restrita ao plano
no espaço tridimensional. A parábola abre para o lado positivo do eixo
, começando no ponto
e estendendo-se indefinidamente conforme
aumenta.
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.
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