Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado: O sólido limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar integral tripla para calcular o volume de um sólido. O sólido é limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
,
e
. Então, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para
,
e
com base nessas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro parabólico
nos mostra que, para cada valor de
,
varia de
a
. O plano
corta esse cilindro, definindo o limite máximo para
. Os planos
e
são paralelos ao eixo
e delimitam a altura do sólido.
Passo 3
Vamos definir os limites de integração para cada variável:
- Para
: Como vai de até , e varia de 0 a 9, então varia de 0 a 9. - Para
: Dado um valor de , varia de a . - Para
: Independente de e , varia de 0 a 4.
Passo 4
Agora, vamos montar a integral tripla para o volume
:
Aqui, estamos integrando a função constante 1 sobre a região definida pelos limites que estabelecemos.
Passo 5
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Assim, a integral agora é:
Passo 7
Por fim, integramos em relação a
:
Calculando
:
Então:
Resposta
O volume do sólido é 144 unidades cúbicas.
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Encontre a área da região sombreada.
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.
Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas.