Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado: O sólido limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar integral tripla para calcular o volume de um sólido. O sólido é limitado pelo cilindro parabólico e pelos planos , e . Então, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para , e com base nessas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro parabólico nos mostra que, para cada valor de , varia de a . O plano corta esse cilindro, definindo o limite máximo para . Os planos e são paralelos ao eixo e delimitam a altura do sólido.

Passo 3

Vamos definir os limites de integração para cada variável:
  • Para : Como vai de até , e varia de 0 a 9, então varia de 0 a 9.
  • Para : Dado um valor de , varia de a .
  • Para : Independente de e , varia de 0 a 4.

Passo 4

Agora, vamos montar a integral tripla para o volume :
Aqui, estamos integrando a função constante 1 sobre a região definida pelos limites que estabelecemos.

Passo 5

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Assim, a integral agora é:

Passo 7

Por fim, integramos em relação a :
Calculando :
Então:

Resposta

O volume do sólido é 144 unidades cúbicas.

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Encontre a área da região sombreada.

Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
.
Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas.