Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
c2 x+y+4 z+w=-5 2 x+8 y-10 z+8 w=2 -9 z+2 w=2 4 x+y+6 z+5 w=-3 4 x+5 y-8 z+8 w=-3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com quatro variáveis: , , e . O objetivo é resolver esse sistema usando o método de Gauss-Jordan. Para isso, vamos precisar manipular as equações para transformar a matriz aumentada em uma forma escalonada reduzida, o que nos permitirá encontrar os valores das variáveis.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
2 & 1 & 4 & 1 & | & -5 2 & 8 & -10 & 8 & | & 2 0 & 0 & -9 & 2 & | & 2 4 & 1 & 6 & 5 & | & -3 4 & 5 & -8 & 8 & | & -3

Passo 3

O próximo passo é transformar a primeira coluna para que o primeiro elemento seja 1 (chamamos isso de pivô). Podemos dividir a primeira linha por 2 para facilitar:
R1 = R12 Rightarrow 1 & 0.5 & 2 & 0.5 & | & -2.5 2 & 8 & -10 & 8 & | & 2 0 & 0 & -9 & 2 & | & 2 4 & 1 & 6 & 5 & | & -3 4 & 5 & -8 & 8 & | & -3

Passo 4

Agora, vamos eliminar os termos abaixo do pivô na primeira coluna usando operações das linhas. Por exemplo, subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda, 4 vezes a primeira linha da quarta e da quinta linhas:
R2 = R2 - 2R1 R4 = R4 - 4R1 R5 = R5 - 4R1
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 0.5 & 2 & 0.5 & | & -2.5 0 & 7 & -14 & 7 & | & 7 0 & 0 & -9 & 2 & | & 2 0 & -1 & -2 & 3 & | & 7 0 & 3 & -16 & 6 & | & 7

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Nosso objetivo é ter um 1 como pivô na segunda linha e eliminar os demais termos dessa coluna. Primeiro, dividimos a segunda linha por 7:
R2 = R27 Rightarrow 1 & 0.5 & 2 & 0.5 & | & -2.5 0 & 1 & -2 & 1 & | & 1 0 & 0 & -9 & 2 & | & 2 0 & -1 & -2 & 3 & | & 7 0 & 3 & -16 & 6 & | & 7
Em seguida, eliminamos os outros elementos na segunda coluna:
R1 = R1 - 0.5R2 R4 = R4 + R2 R5 = R5 - 3R2
A matriz fica:
1 & 0 & 3 & 0 & | & -3 0 & 1 & -2 & 1 & | & 1 0 & 0 & -9 & 2 & | & 2 0 & 0 & -4 & 4 & | & 8 0 & 0 & -10 & 3 & | & 4

Passo 6

Agora, vamos para a terceira coluna. Queremos um pivô 1 nessa posição. Primeiro, dividimos a terceira linha por -9:
R3 = R3-9 Rightarrow 1 & 0 & 3 & 0 & | & -3 0 & 1 & -2 & 1 & | & 1 0 & 0 & 1 & -29 & | & -29 0 & 0 & -4 & 4 & | & 8 0 & 0 & -10 & 3 & | & 4
Em seguida, eliminamos os outros termos na terceira coluna:
R1 = R1 - 3R3 R2 = R2 + 2R3 R4 = R4 + 4R3 R5 = R5 + 10R3
A matriz se torna:
1 & 0 & 0 & 23 & | & -193 0 & 1 & 0 & 59 & | & 59 0 & 0 & 1 & -29 & | & -29 0 & 0 & 0 & 209 & | & 209 0 & 0 & 0 & -119 & | & 149

Passo 7

Finalmente, vamos para a quarta coluna. Queremos um pivô 1 na quarta linha. Para isso, multiplicamos a quarta linha por R4 = 920R4 Rightarrow 1 & 0 & 0 & 23 & | & -193 0 & 1 & 0 & 59 & | & 59 0 & 0 & 1 & -29 & | & -29 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 0 & 0 & 0 & -119 & | & 149 :
R1 = R1 - 23R4 R2 = R2 - 59R4 R3 = R3 + 29R4 R5 = R5 + 119R4
Agora, eliminamos os outros termos na quarta coluna:
1 & 0 & 0 & 0 & | & -7 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & | & 259
A matriz final fica:

Resposta

No entanto, na última linha, temos , o que é uma contradição. Isso significa que o sistema não possui solução. Portanto, o sistema é incompatível.
Resposta Final: O sistema não possui solução.

Exercícios relacionados

Verifique se as seguintes matrizes estão na forma escalonada reduzida.
[lll1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0]
Encontre todos os valores de a e b, se houver, para os quais o sistema
(a+1) x+ a y-z & =-1 (a+1) y+z & =1 (a+1) x+(3 a+2) y+z & =-1-b
tem uma única solução e
Classifique cada uma das afirmações abaixo em falsa (F) ou verdadeira (V), justificando sua resposta:
Sejam A uma matriz m times n e B uma matriz m times 1. Se A X=B tem infinitas soluções, A X=0 também tem infinitas soluções.
Encontre todos os valores de a e b, se houver, para os quais o sistema
(a+1) x+ a y-z & =-1 (a+1) y+z & =1 (a+1) x+(3 a+2) y+z & =-1-b
admite infinitas soluções.