Encontre todos os valores de x no intervalo [0, 2 pi] tal que sen(x) = sen(2x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação que envolve funções trigonométricas: . Nosso objetivo é encontrar todos os valores de x no intervalo que satisfazem essa igualdade. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre as propriedades das funções sen e as fórmulas de identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer tudo para um lado da equação para facilitar a resolução:
Isso nos permite trabalhar com a diferença de senos, que tem uma identidade trigonométrica útil.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula de diferença de senos:
Aqui, e . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Simplificando os argumentos das funções trigonométricas:
Então, a equação fica:

Passo 5

Como o produto de dois fatores é zero, pelo princípio do produto zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:

Passo 6

Vamos resolver cada equação separadamente.
Primeira equação:
A função cosseno é zero quando seu argumento é , onde k é um inteiro.
Então:
Segunda equação:
Sabemos que , então:
A função seno é zero quando seu argumento é , onde k é um inteiro.
Então:

Passo 7

Agora, vamos encontrar os valores de x no intervalo para cada caso.
Para a primeira equação:
Vamos testar valores de k que mantenham x dentro de .
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para : (fora do intervalo)
Para a segunda equação:
Vamos testar valores de k que mantenham x dentro de .
  • Para : x = 0
  • Para :
  • Para : (fora do intervalo)

Resposta

Os valores de x no intervalo que satisfazem são:

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