Expresse as funções sen x^2, sen^2(x) e sen sen x em forma de composição de funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente expressar três funções trigonométricas — , e — como composições de funções. Isso está ligado ao conteúdo de funções e composição de funções, onde uma função é aplicada dentro de outra. Para resolver, vamos precisar entender como definir funções básicas e como combiná-las.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma composição de funções. Se temos duas funções, digamos f(x) e g(x), a composição delas é representada por . Ou seja, a função g é aplicada primeiro, e depois passamos o resultado para a função f.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada função do exercício uma por uma e ver como podemos decompor em duas funções que, quando compostas, dão a função original.

Passo 4

Vamos começar com . Aqui, temos a função seno sendo aplicada a . Podemos pensar em duas funções: uma que calcula x^2 e outra que aplica o seno. Vamos definir:
  • x^2

  • Assim, pode ser escrita como .

Passo 5

Agora, vamos para . Isso significa que estamos elevando o resultado do seno de ao quadrado. Novamente, temos duas operações: aplicar o seno e depois elevar ao quadrado. Definimos:
  • x
    Então, é .

Passo 6

Por último, temos . Aqui, aplicamos o seno duas vezes de forma sucessiva. Definimos:

  • Assim, é , onde e são ambas a função seno.

Resposta

As funções podem ser expressas como composições de funções da seguinte forma:

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