Encontre o trabalho feito pela força
ao mover uma partícula de
a
ao longo da metade superior da elipse
. Qual elipse, isto é, qual valor de
minima o trabalho realizado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho feito por uma força específica ao mover uma partícula de um ponto a outro ao longo da metade superior de uma elipse. Além disso, precisamos encontrar o valor de
que faz com que esse trabalho seja mínimo. Vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre trabalho de força ao longo de um caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho nesse contexto. O trabalho
feito por uma força
ao mover uma partícula ao longo de um caminho
é dado pela integral de linha:
Onde
é o campo de força, e
é um elemento infinitesimal do caminho.
Passo 3
Vamos identificar a força
. Aqui, a componente
e
. Precisamos parametrizar o caminho da partícula, que é a metade superior da elipse
.
Passo 4
Para parametrizar a elipse, vamos resolver a equação para
:
Assim, podemos expressar
em termos de
, variando de
a
para a metade superior.
Passo 5
Agora, expressamos
. Sabendo que
, derivamos
em relação a
para encontrar
:
Passo 6
Substituímos
e
na integral de trabalho:
Substituindo
e
em termos de
:
Passo 7
Simplificamos as expressões:
Passo 8
Calculamos a primeira integral:
Passo 9
A segunda integral é um pouco mais complicada. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Seja
, então
, ou seja,
. Substituímos:
Após resolver a integral, e avaliando de
a
, encontramos o valor.
Passo 10
Após resolver ambas as integrais e simplificar, obtemos uma expressão para
em termos de
. Para encontrar o valor de
que minimiza
, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo essa equação, encontramos o valor de
que minimiza o trabalho realizado.
Resposta
Após os cálculos, o valor de
que minimiza o trabalho realizado é
.
Exercícios relacionados
Dado o campo vetorial
é conservativo? Calcule o trabalho de
ao mover uma partícula ao longo da curva descrita por
.
Resolva as equações:
Use o teorema da convolução para encontrar
.
.
Resolva as equações: