Encontre o trabalho feito pela força F(x, y) = (3y^2 + 2, 16x) ao mover uma partícula de (-1, 0) a 0,1 ao longo da metade superior da elipse b^2 * x^2 + y^2 = b. Qual elipse, isto é, qual valor de b minima o trabalho realizado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho feito por uma força específica ao mover uma partícula de um ponto a outro ao longo da metade superior de uma elipse. Além disso, precisamos encontrar o valor de que faz com que esse trabalho seja mínimo. Vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre trabalho de força ao longo de um caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho nesse contexto. O trabalho feito por uma força ao mover uma partícula ao longo de um caminho é dado pela integral de linha:
Onde é o campo de força, e é um elemento infinitesimal do caminho.

Passo 3

Vamos identificar a força . Aqui, a componente e . Precisamos parametrizar o caminho da partícula, que é a metade superior da elipse .

Passo 4

Para parametrizar a elipse, vamos resolver a equação para :
Assim, podemos expressar em termos de , variando de a para a metade superior.

Passo 5

Agora, expressamos . Sabendo que , derivamos em relação a para encontrar :

Passo 6

Substituímos e na integral de trabalho:
Substituindo e em termos de :

Passo 7

Simplificamos as expressões:

Passo 8

Calculamos a primeira integral:

Passo 9

A segunda integral é um pouco mais complicada. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Seja , então , ou seja, . Substituímos:
Após resolver a integral, e avaliando de a , encontramos o valor.

Passo 10

Após resolver ambas as integrais e simplificar, obtemos uma expressão para em termos de . Para encontrar o valor de que minimiza , derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo essa equação, encontramos o valor de que minimiza o trabalho realizado.

Resposta

Após os cálculos, o valor de que minimiza o trabalho realizado é .

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Dado o campo vetorial F = (y, z, y*z) . F é conservativo? Calcule o trabalho de F ao mover uma partícula ao longo da curva descrita por r(t) = (cos(t), sen(t), e^(t)), 0 <= t <= pi.
Resolva as equações: y'' + 4y = x sen(2x)
Use o teorema da convolução para encontrar f(t).
L^{-1}{s/((s^{2}+4)^{2})}.
Resolva as equações: m y'' - 3 y' + 2 y = e^t + e^{2 t}