Dado o campo vetorial é conservativo? Calcule o trabalho de ao mover uma partícula ao longo da curva descrita por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial é conservativo. Depois, calcular o trabalho feito por ao mover uma partícula ao longo da curva no intervalo de a . Para isso, vamos usar conceitos de campos conservativos e cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se a sua derivada rotacional (ou rotacional) for zero, ou seja, se . Se for conservativo, existe uma função potencial tal que .
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de :
Calculando cada componente:
Simplificando:
Passo 4
Como o rotacional de é e não é o vetor nulo , concluímos que o campo vetorial não é conservativo.
Passo 5
Agora, vamos calcular o trabalho realizado por ao longo da curva . O trabalho é dado pela integral de linha:
Passo 6
Substituímos e calculamos a derivada de em relação a :
Então, .
Passo 7
Expressamos em termos de :
Passo 8
Calculamos o produto escalar :
Passo 9
Agora, integramos de a :
Passo 10
Vamos resolver cada parte da integral separadamente: