Dado o campo vetorial F = (y, z, y*z) . F é conservativo? Calcule o trabalho de F ao mover uma partícula ao longo da curva descrita por r(t) = (cos(t), sen(t), e^(t)), 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se o campo vetorial é conservativo. Depois, calcular o trabalho feito por ao mover uma partícula ao longo da curva no intervalo de a . Para isso, vamos usar conceitos de campos conservativos e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo é conservativo se a sua derivada rotacional (ou rotacional) for zero, ou seja, se . Se for conservativo, existe uma função potencial tal que .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de :
Calculando cada componente:
Simplificando:

Passo 4

Como o rotacional de é e não é o vetor nulo , concluímos que o campo vetorial não é conservativo.

Passo 5

Agora, vamos calcular o trabalho realizado por ao longo da curva . O trabalho é dado pela integral de linha:

Passo 6

Substituímos e calculamos a derivada de em relação a :
Então, .

Passo 7

Expressamos em termos de :

Passo 8

Calculamos o produto escalar :

Passo 9

Agora, integramos de a :

Passo 10

Vamos resolver cada parte da integral separadamente:
  1. Integral de :
    (Usamos a identidade )
  2. Integral de :
  3. Integral de :

Passo 11

Agora, somamos os resultados das integrais:

Resposta

O trabalho realizado por ao longo da curva é:

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a) f(t) = { 0, 0 <= t < 1; t^2, t >= 1 }
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c) f(t) = { 0, 0 <= t < 3 pi / 2; sent, t >= 3 pi / 2 }
d) f(t) = { 1, 0 <= t < 4; 0, 4 <= t < 5; 1, t >= 5 }
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