Use o teorema da convolução para encontrar f(t).
L^{-1}{s/((s^{2}+4)^{2})}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usar o teorema da convolução para encontrar , que é a transformada inversa de Laplace de . Basicamente, precisamos desconstruir essa fração usando o teorema da convolução e calcular a função no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teorema da convolução. Esse teorema nos permite encontrar a inversa do produto de duas funções no domínio de Laplace multiplicando as inversas delas no domínio do tempo e fazendo uma convolução entre elas. Ou seja, se , então:

Passo 3

Agora, vamos identificar as funções e que, quando multiplicadas, nos dão . Podemos reescrever essa expressão como:
Aqui, temos:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar as transformadas inversas de e :

Passo 5

Agora, aplicando o teorema da convolução, temos:

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 7

Integrando termo a termo:
A segunda integral se anula porque a função seno é ímpar em relação a , então o resultado final é:

Resposta

Portanto, a função é:

Exercícios relacionados

Encontre o trabalho feito pela força F(x, y) = (3y^2 + 2, 16x) ao mover uma partícula de (-1, 0) a 0,1 ao longo da metade superior da elipse b^2 * x^2 + y^2 = b. Qual elipse, isto é, qual valor de b minima o trabalho realizado?
Dado o campo vetorial F = (y, z, y*z) . F é conservativo? Calcule o trabalho de F ao mover uma partícula ao longo da curva descrita por r(t) = (cos(t), sen(t), e^(t)), 0 <= t <= pi.
Resolva as equações: m y'' - 3 y' + 2 y = e^t + e^{2 t}
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
a) ly^prime+4 y=e^-4 t y(0)=0
b) ly^prime-y=sen t y(0)=0
c) ly^prime prime-4 y^prime+4 y=t^3 e^2 t y(0)=y^prime(0)=0
d) ly^prime prime-y^prime=e^t cos t y(0)=y^prime(0)=0
e) ly^prime prime prime+2 y^prime prime-y^prime-2 y=sen 3 t y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1
f) ly^i v-y=t y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(0)=y^prime prime prime(0)=0
g) ly^prime prime+4 y=f(t) onde f(t)=c1,0 <= t<1 0, t >= 1 y(0)=0, y^prime(0)=-1
h) ly^prime prime+4 y=sent mho(t-2 pi) y(0)=1, y^prime(0)=0
i) ly^prime prime-5 y^prime+6 y=mho(t-1) y(0)=0, y^prime(0)=1
j)