Resolva as equações: y'' + 4y = x sen(2x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é chamado de equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver, a gente vai precisar achar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada ( ) mais uma solução particular da equação completa. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea . Essa é uma equação diferencial de coeficientes constantes. A gente assume uma solução da forma e substitui na equação para achar os valores de .

Passo 3

Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), ficamos com:
Isso nos dá as raízes .

Passo 4

Como as raízes são complexas com e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , a gente tenta uma solução do tipo:
Isso porque quando o forçamento é polinomial vezes funções trigonométricas, a solução particular tem essa forma.

Passo 6

Vamos derivar para encontrar e :

Passo 7

Substituindo e na equação :
õ
Igualamos os coeficientes dos termos e de ambos os lados para encontrar os valores de e .

Passo 8

Após igualar os coeficientes, resolvemos o sistema de equações resultante e encontramos:
Então, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Escreva cada função em termos de funções degrau unitário. Encontre a transformada de Laplace da função dada.
a) f(t) = { 0, 0 <= t < 1; t^2, t >= 1 }
b) f(t) = { sent, 0 <= t < 2 pi; 0, t >= 2 pi }
c) f(t) = { 0, 0 <= t < 3 pi / 2; sent, t >= 3 pi / 2 }
d) f(t) = { 1, 0 <= t < 4; 0, 4 <= t < 5; 1, t >= 5 }
Use uma tabela para calcular Lf(t) :
ll a) f(t)=(t+1)^3 & b) f(t)=(1+e^t)^2 c) f(t)=t^2-e^-9 t+5 & d) f(t)=4 t^2-5 sen 3 t e) f(t)=sen 2 t cos 2 t & f) f(t)=cos ^2 t g) f(t)=cos t cos 2 t & h) f(t)=sen t cos 2 t i) f(t)=sen^3 t & j) f(t)=sen t sen 2 t
Dado o campo vetorial F = (y, z, y*z) . F é conservativo? Calcule o trabalho de F ao mover uma partícula ao longo da curva descrita por r(t) = (cos(t), sen(t), e^(t)), 0 <= t <= pi.
Encontre o trabalho feito pela força F(x, y) = (3y^2 + 2, 16x) ao mover uma partícula de (-1, 0) a 0,1 ao longo da metade superior da elipse b^2 * x^2 + y^2 = b. Qual elipse, isto é, qual valor de b minima o trabalho realizado?