Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é chamado de equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem. Para resolver, a gente vai precisar achar a solução geral, que é composta pela solução da equação homogênea associada () mais uma solução particular da equação completa. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea . Essa é uma equação diferencial de coeficientes constantes. A gente assume uma solução da forma e substitui na equação para achar os valores de .
Passo 3
Substituindo na equação homogênea, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), ficamos com:
Isso nos dá as raízes .
Passo 4
Como as raízes são complexas com e , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes que determinamos com condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , a gente tenta uma solução do tipo:
Isso porque quando o forçamento é polinomial vezes funções trigonométricas, a solução particular tem essa forma.
Passo 6
Vamos derivar para encontrar e :
Passo 7
Substituindo e na equação :
Igualamos os coeficientes dos termos e de ambos os lados para encontrar os valores de e .
Passo 8
Após igualar os coeficientes, resolvemos o sistema de equações resultante e encontramos:
Então, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular: