Encontre o trabalho realizado por F sobre a curva na direção de t crescente:
F = 2y i + 3x j - (x + y) k Curva: r(t) = (cos(t)) i + (sen(t)) j + t/6 k com 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede. Temos um campo vetorial e uma curva definida por para . Queremos encontrar o trabalho realizado por ao longo dessa curva na direção de crescente.
Conteúdo da matéria: Cálculo de trabalho por um campo vetorial usando integrais de linha.
O que vamos precisar:
  1. Parametrizar a curva.
  2. Substituir a parametrização na função .
  3. Calcular a derivada da parametrização .
  4. Fazer o produto escalar .
  5. Integrar esse produto de a .

Passo 2

Primeiro, encontramos a derivada da parametrização da curva:

Passo 3

Agora, substituímos na função :

Passo 4

Calculamos o produto escalar :

Passo 5

Simplificamos a expressão:

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de a :

Passo 7

Calculamos cada integral separadamente:
Sabemos que:
Substituindo:

Resposta

O trabalho realizado por ao longo da curva é .

Exercícios relacionados