Encontre o trabalho realizado por F sobre a curva na direção de
crescente:
Curva:
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Temos um campo vetorial
e uma curva definida por para
. Queremos encontrar o trabalho realizado por
ao longo dessa curva na direção de
crescente.
Conteúdo da matéria: Cálculo de trabalho por um campo vetorial usando integrais de linha.
O que vamos precisar:
- Parametrizar a curva.
- Substituir a parametrização na função
. - Calcular a derivada da parametrização
. - Fazer o produto escalar
. - Integrar esse produto de
a .
Passo 2
Primeiro, encontramos a derivada da parametrização da curva:
Passo 3
Agora, substituímos
na função
:
Passo 4
Calculamos o produto escalar
:
Passo 5
Simplificamos a expressão:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Passo 7
Calculamos cada integral separadamente:
Sabemos que:
Substituindo:
Resposta
O trabalho realizado por
ao longo da curva é
.