Nos itens 1 a 3, ache o valor da integral ( e serão especificados). e é qualquer arco que vai de a , passando a direita do ponto -1 . Especifique o ramo tomando (lembre que e , , nos dá duas raízes complexas, a saber, e ).
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função complexa ao longo de um caminho que vai de até , passando pela direita do ponto . Além disso, precisamos especificar o ramo da raiz quadrada de tal forma que .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de funções complexas, especialmente como lidar com multi-valuadas como a raiz quadrada. Vamos também usar conceitos de análise de caminhos no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . A raiz quadrada no complexo pode ter mais de um valor (ou ramos). A escolha do ramo é crucial para que a função seja bem definida ao longo do caminho . A condição nos ajuda a escolher o ramo correto.
Sabemos que e com . Isso significa que as duas raízes de 1 são e . Como queremos , escolhemos o ramo onde .
Passo 3
Agora, vamos parametrizar o caminho . O caminho vai de a , que são pontos na vertical passando à direita de . Podemos parametrizar como , onde varia de a .
Então, a derivada de em relação a é .
Passo 4
Substituindo a parametrização na integral, temos:
Simplificando dentro da raiz:
Sabemos que , então:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Agora, precisamos lidar com no intervalo de a . Note que para , não é real, então interpretamos no sentido de funções complexas. Entretanto, como estamos trabalhando com uma definição específica do ramo, isso simplifica nossa integral.
Passo 6
Considerando a definição do ramo onde é contínua ao longo de , podemos encontrar uma antiderivada de . Sabemos que a antiderivada de é:
Então, aplicando o teorema fundamental do cálculo para integrais no plano complexo: