Nos itens 1 a 3, ache o valor da integral integralC f(z) d z ( f e C serão especificados).
f(z)=raizz+1 e C é qualquer arco que vai de -1-3 i a -1+5 i, passando a direita do ponto -1 . Especifique o ramo tomando f(0)=raiz1=-1 (lembre que 1=cos 0+i sin 0 e raiz1=cos k pi+i sin k pi, com k=0,1, nos dá duas raízes complexas, a saber, 1 e -1).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função complexa ao longo de um caminho que vai de até , passando pela direita do ponto . Além disso, precisamos especificar o ramo da raiz quadrada de tal forma que .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de funções complexas, especialmente como lidar com multi-valuadas como a raiz quadrada. Vamos também usar conceitos de análise de caminhos no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . A raiz quadrada no complexo pode ter mais de um valor (ou ramos). A escolha do ramo é crucial para que a função seja bem definida ao longo do caminho . A condição nos ajuda a escolher o ramo correto.
Sabemos que e com . Isso significa que as duas raízes de 1 são e . Como queremos , escolhemos o ramo onde .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar o caminho . O caminho vai de a , que são pontos na vertical passando à direita de . Podemos parametrizar como , onde varia de a .
Então, a derivada de em relação a é .

Passo 4

Substituindo a parametrização na integral, temos:
integralC raizz+1 , dz = integral-3^5 raiz(-1 + ti) + 1 cdot i , dt = integral-3^5 raizti cdot i , dt
Simplificando dentro da raiz:
raizti = raizt cdot raizi
Sabemos que raizti = raizt cdot 1raiz2 (1 + i) , então:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral-3^5 raizt cdot 1raiz2 (1 + i) cdot i , dt = 1 + iraiz2 cdot i integral-3^5 raizt , dt
Agora, precisamos lidar com no intervalo de a . Note que para , não é real, então interpretamos no sentido de funções complexas. Entretanto, como estamos trabalhando com uma definição específica do ramo, isso simplifica nossa integral.

Passo 6

Considerando a definição do ramo onde 23 (z+1)^3/2 é contínua ao longo de integralC raizz+1 , dz = 23 (z+1)^3/2 |-1-3i^-1+5i , podemos encontrar uma antiderivada de . Sabemos que a antiderivada de é:
Então, aplicando o teorema fundamental do cálculo para integrais no plano complexo:

Passo 7

Calculando nos limites:
Para (z+1) = 5i Rightarrow (z+1)^3/2 = (5i)^3/2 = 5^3/2 cdot i^3/2 = 5^3/2 cdot (-i) :
(z+1) = -3i Rightarrow (z+1)^3/2 = (-3i)^3/2 = 3^3/2 cdot (-i)^3/2 = 3^3/2 cdot i
Para :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:
23 [ 5^3/2 (-i) - 3^3/2 (i) ] = 23 [ -5^3/2 i - 3^3/2 i ] = 23 cdot (-i) (5^3/2 + 3^3/2)

Resposta

Assim, o valor da integral é:
integralC raizz+1 , dz = -23 i ( 5^3/2 + 3^3/2 )

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