Nos itens 1 a 3, ache o valor da integral
(
e
serão especificados).
e
é um caminho situado no
quadrante que vai de -1 a
. Especifique o ramo do logaritmo tomando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa, especificamente
, onde
e
é um caminho no segundo quadrante do plano complexo, indo de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, como a definição de ramos do logaritmo e a parametrização de caminhos no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
estar no segundo quadrante. No plano complexo, o segundo quadrante é onde a parte real é negativa e a parte imaginária é positiva. Então, nosso caminho vai de
(que está no eixo real negativo) até
(que está no eixo imaginário positivo), passando apenas pelo segundo quadrante.
Passo 3
Agora, precisamos escolher um ramo do logaritmo que seja consistente ao longo do caminho
. Foi dado que
. Isso nos ajuda a definir o corte de ramo para a função logarítmica. Vamos usar a definição principal do logaritmo complexo, onde:
E o argumento
está no intervalo
.
Passo 4
Em seguida, vamos parametrizar o caminho
. Podemos usar uma parametrização linear que vai de
a
. Vamos definir
para
variando de 0 a 1:
Isso significa que quando
,
, e quando
,
.
Passo 5
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso é importante porque, para integrar ao longo do caminho, precisamos substituir
por
.
Passo 6
Agora, substituímos
e
na integral:
Passo 7
Para resolver essa integral, vamos precisar calcular
ao longo do caminho. Usando a definição do logaritmo complexo:
Calculando
e
para
, e então integrando ao longo de
de 0 a 1.
Passo 8
Após realizar os cálculos (que envolvem integração de funções logarítmicas complexas), chegamos ao resultado final da integral.
Resposta
O valor da integral
é
.