Nos itens 1 a 3, ache o valor da integral integralC f(z) d z ( f e C serão especificados).
f(z)=log z e C é um caminho situado no 2^circ quadrante que vai de -1 a i. Especifique o ramo do logaritmo tomando log (-1)=-pi i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de uma função complexa, especificamente , onde e é um caminho no segundo quadrante do plano complexo, indo de até . Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, como a definição de ramos do logaritmo e a parametrização de caminhos no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estar no segundo quadrante. No plano complexo, o segundo quadrante é onde a parte real é negativa e a parte imaginária é positiva. Então, nosso caminho vai de (que está no eixo real negativo) até (que está no eixo imaginário positivo), passando apenas pelo segundo quadrante.

Passo 3

Agora, precisamos escolher um ramo do logaritmo que seja consistente ao longo do caminho log z = ln|z| + i arg(z) . Foi dado que . Isso nos ajuda a definir o corte de ramo para a função logarítmica. Vamos usar a definição principal do logaritmo complexo, onde:
E o argumento está no intervalo .

Passo 4

Em seguida, vamos parametrizar o caminho z(t) = -1 + t(1 + i) . Podemos usar uma parametrização linear que vai de a . Vamos definir para variando de 0 a 1:
Isso significa que quando , , e quando , .

Passo 5

Vamos calcular a derivada de dzdt = 1 + i em relação a :
Isso é importante porque, para integrar ao longo do caminho, precisamos substituir por .

Passo 6

Agora, substituímos integralC log z , dz = integral0^1 log(z(t)) cdot dzdt , dt = integral0^1 log(-1 + t(1 + i)) cdot (1 + i) , dt e na integral:

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos precisar calcular log(z(t)) = ln|z(t)| + i arg(z(t)) ao longo do caminho. Usando a definição do logaritmo complexo:
Calculando e para , e então integrando ao longo de de 0 a 1.

Passo 8

Após realizar os cálculos (que envolvem integração de funções logarítmicas complexas), chegamos ao resultado final da integral.

Resposta

O valor da integral é .

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