Encontre o trabalho realizado por F sobre a curva na direção de t crescente:
F = xy i + y j - yz k Curva: r(t) = t i + t^2 j + t k com 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o trabalho realizado pelo campo de força ao longo de uma curva definida por quando vai de 0 a 1. Aqui, estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com o conceito de integração de linha para calcular o trabalho. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e como aplicar a fórmula do trabalho no contexto de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o trabalho realizado por um campo de força ao longo de uma curva. O trabalho é dado pela integral de linha:
Aqui, é o campo de força e é um elemento infinitesimal da curva .

Passo 3

Vamos parametrizar a curva com variando de 0 a 1:
Para calcular , precisamos derivar em relação a :
Então,

Passo 4

Agora, vamos substituir as coordenadas da curva na expressão do campo de força :
Da parametrização , temos:
Substituindo esses valores em :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, integrando essa expressão de a :
Vamos calcular essa integral:
Avaliei de 0 a 1:

Resposta

O trabalho realizado por ao longo da curva de a é unidades de trabalho.

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