Encontre as trajetórias ortogonais para a família de curvas 2 x^2 + y^2 = k, em que k é um parâmetro (constante). Dica: para encontrar as trajetórias ortogonais de uma dada família de curvas, por exemplo, 2 x^2 + y^2 = k, primeiro encontramos a EDO d/y = f(x, y) que descreve a família (ou seja, derivando a equação dada). A EDO da família ortogonal é então d y/d x = -1/f(x, y), resolva essa nova EDO para obter a faília de curvas ortogonais.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma família de curvas representadas pela equação , onde é uma constante. Nosso objetivo é encontrar as trajetórias ortogonais a essa família de curvas. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e equações diferenciais ordinárias (EDOs).

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada que descreve a família de curvas dada. Isso significa que vamos derivar a equação em relação a .
Derivando ambos os lados:

Passo 3

Agora, isolamos para encontrar a EDO da família original:

Passo 4

As trajetórias ortogonais têm inclinações que são negativas inversas das inclinações das curvas originais. Portanto, a EDO das trajetórias ortogonais será:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa nova EDO . Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e .
Reescrevendo:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Para simplificar, podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
Como é uma constante, podemos chamar de :

Resposta

As trajetórias ortogonais à família de curvas são dadas por , onde é uma constante.

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