Encontre as trajetórias ortogonais para a família de curvas
, em que
é um parâmetro (constante). Dica: para encontrar as trajetórias ortogonais de uma dada família de curvas, por exemplo,
, primeiro encontramos a EDO
que descreve a família (ou seja, derivando a equação dada). A EDO da família ortogonal é então
, resolva essa nova EDO para obter a faília de curvas ortogonais.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma família de curvas representadas pela equação
, onde
é uma constante. Nosso objetivo é encontrar as trajetórias ortogonais a essa família de curvas. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas e equações diferenciais ordinárias (EDOs).
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada
que descreve a família de curvas dada. Isso significa que vamos derivar a equação
em relação a
.
Derivando ambos os lados:
Passo 3
Agora, isolamos
para encontrar a EDO da família original:
Passo 4
As trajetórias ortogonais têm inclinações que são negativas inversas das inclinações das curvas originais. Portanto, a EDO das trajetórias ortogonais será:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa nova EDO
. Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
.
Reescrevendo:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para simplificar, podemos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
Como
é uma constante, podemos chamar de
:
Resposta
As trajetórias ortogonais à família de curvas
são dadas por
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções, determine seu maior domínio de definição:
c)
c)
Mostre que a equação
não é exata. Encontre um fator integrante para transformar a equação em exata. Por fim, resolva a equação.
As seguintes funções são contínuas em todos pontos no plano
? Justifique cada resposta.
Mostre que