As seguintes funções são contínuas em todos pontos no plano ? Justifique cada resposta.

Passo 1

Vamos analisar se a função é contínua em todos os pontos do plano . Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções de duas variáveis e verificar possíveis pontos de descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se não houver interrupções, saltos ou assíntotas nesse ponto. No caso de funções racionais ou que envolvem raízes, precisamos verificar se o denominador nunca é zero e se a expressão dentro da raiz quadrada é sempre positiva.

Passo 3

Na função , o denominador é . Para garantir que a raiz quadrada seja válida, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero:

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade . A expressão é um polinômio quadrático. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, a equação não tem raízes reais e o polinômio é sempre positivo.

Passo 5

Como é sempre positivo para qualquer valor de , o denominador nunca será zero e sempre será definido. Além disso, o numerador está sempre definido para qualquer .

Passo 6

Como tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas em e o denominador nunca é zero, a função é contínua em todos os pontos do plano .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do plano .

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Encontre as trajetórias ortogonais para a família de curvas , em que é um parâmetro (constante). Dica: para encontrar as trajetórias ortogonais de uma dada família de curvas, por exemplo, , primeiro encontramos a EDO que descreve a família (ou seja, derivando a equação dada). A EDO da família ortogonal é então , resolva essa nova EDO para obter a faília de curvas ortogonais.
Para cada uma das funções, determine seu maior domínio de definição:
c)
Mostre que
Determine a derivada partial .