As seguintes funções são contínuas em todos pontos no plano
? Justifique cada resposta.
Passo 1
Vamos analisar se a função
é contínua em todos os pontos do plano
. Para isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções de duas variáveis e verificar possíveis pontos de descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se não houver interrupções, saltos ou assíntotas nesse ponto. No caso de funções racionais ou que envolvem raízes, precisamos verificar se o denominador nunca é zero e se a expressão dentro da raiz quadrada é sempre positiva.
Passo 3
Na função
, o denominador é
. Para garantir que a raiz quadrada seja válida, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero:
Passo 4
Vamos resolver a desigualdade
. A expressão
é um polinômio quadrático. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, a equação não tem raízes reais e o polinômio é sempre positivo.
Passo 5
Como
é sempre positivo para qualquer valor de
, o denominador
nunca será zero e sempre será definido. Além disso, o numerador
está sempre definido para qualquer
.
Passo 6
Como tanto o numerador quanto o denominador são funções contínuas em
e o denominador nunca é zero, a função
é contínua em todos os pontos do plano
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do plano
.