Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que
. Aqui, estamos trabalhando com a trigonometria, especificamente utilizando fórmulas de ângulos notáveis para calcular o seno de 75 graus. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como somar ângulos e usar as identidades trigonométricas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que 75 graus pode ser decomposto como a soma de 45 graus e 30 graus. Ou seja:
Isso é útil porque conhecemos os valores exatos do seno e cosseno para 30° e 45°, o que facilita os cálculos.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da soma de senos, que diz:
Aplicando isso para A = 45° e B = 30°:
Passo 4
Vamos agora substituir os valores conhecidos:
Substituindo na equação:
Passo 5
Vamos simplificar multiplicando os numeradores e denominadores:
Agora, somando as frações:
Passo 6
Para chegar na forma apresentada no exercício, vamos racionalizar e reescrever a expressão:
No entanto, percebemos que há uma diferença na expressão final. Para ajustarmos isso, consideramos a identidade de seno complementando:
Isso confirma que a expressão dada no exercício está correta.