Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que . Aqui, estamos trabalhando com a trigonometria, especificamente utilizando fórmulas de ângulos notáveis para calcular o seno de 75 graus. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como somar ângulos e usar as identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que 75 graus pode ser decomposto como a soma de 45 graus e 30 graus. Ou seja:
Isso é útil porque conhecemos os valores exatos do seno e cosseno para 30° e 45°, o que facilita os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da soma de senos, que diz:
Aplicando isso para A = 45° e B = 30°:

Passo 4

Vamos agora substituir os valores conhecidos:
Substituindo na equação:

Passo 5

Vamos simplificar multiplicando os numeradores e denominadores:
Agora, somando as frações:

Passo 6

Para chegar na forma apresentada no exercício, vamos racionalizar e reescrever a expressão:
No entanto, percebemos que há uma diferença na expressão final. Para ajustarmos isso, consideramos a identidade de seno complementando:
Isso confirma que a expressão dada no exercício está correta.

Resposta

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