Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por . Isso está relacionado ao conteúdo de Trajetórias Ortogonais em Geometria Analítica. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a equação diferencial da família original e depois determinar a equação diferencial das curvas ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação diferencial da família de curvas dada. Vamos começar diferenciando a equação em relação a .

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a :
Usando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:

Passo 4

Como , podemos substituir na equação da derivada:
Então, a equação diferencial da família original é:

Passo 5

Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos que as derivadas das duas famílias sejam negativas recíprocas uma da outra. Ou seja, se a derivada da família original é , então a derivada das trajetórias ortogonais será:

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis para resolver essa equação diferencial:
Integrando ambos os lados:
A integral à esquerda é:
Para a integral à direita, podemos simplificar:
Integrando termo a termo:
A primeira integral pode ser resolvida usando substituição , :
A segunda integral é:
Então, juntando tudo:
Simplificando:
Ou seja:

Resposta

As trajetórias ortogonais da família de curvas dada são descritas pela equação:

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Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo:
Resolva as seguintes EDO
Resolva as seguintes EDO
Defina parâmetro e estatística.