Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por . Isso está relacionado ao conteúdo de Trajetórias Ortogonais em Geometria Analítica. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a equação diferencial da família original e depois determinar a equação diferencial das curvas ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação diferencial da família de curvas dada. Vamos começar diferenciando a equação em relação a .
Passo 3
Diferenciando ambos os lados em relação a :
Usando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:
Passo 4
Como , podemos substituir na equação da derivada:
Então, a equação diferencial da família original é:
Passo 5
Para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos que as derivadas das duas famílias sejam negativas recíprocas uma da outra. Ou seja, se a derivada da família original é , então a derivada das trajetórias ortogonais será:
Passo 6
Agora, vamos separar as variáveis para resolver essa equação diferencial:
Integrando ambos os lados:
A integral à esquerda é:
Para a integral à direita, podemos simplificar:
Integrando termo a termo:
A primeira integral pode ser resolvida usando substituição , :
A segunda integral é:
Então, juntando tudo:
Simplificando:
Ou seja:
Resposta
As trajetórias ortogonais da família de curvas dada são descritas pela equação: