Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por , onde é uma constante. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica em Coordenadas Polares. Para resolver, vamos precisar entender o que são trajetórias ortogonais e como encontrar a família de curvas que intersecta todas as curvas dadas formando um ângulo de 90 graus.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a família de curvas que nos foi dada: . Aqui, e são as coordenadas polares, e é uma constante que varia para gerar diferentes curvas na família.

Passo 3

Para encontrar as trajetórias ortogonais, vamos precisar derivar essa equação para obter a inclinação (derivada) das curvas originais. Em coordenadas polares, a derivada de em relação a é dada por:
Isso vem da regra da cadeia aplicada à função exponencial.

Passo 4

Agora, para as trajetórias serem ortogonais, suas inclinações devem ser negativas recíprocas das inclinações das curvas originais. Ou seja, se a inclinação das curvas originais é , então a inclinação das trajetórias ortogonais será .
Então:

Passo 5

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar a família de trajetórias ortogonais. Vamos separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados:

Passo 6

A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 8

Podemos reescrever essa equação para expressar em termos de :
Isso representa a família de trajetórias ortogonais às curvas originais.

Resposta

As trajetórias ortogonais da família de curvas são dadas por:
Onde é uma constante que define cada curva específica dentro da família ortogonal.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes EDO
Resolva as seguintes EDO
Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo:
Resolva as seguintes EDO