Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
, onde
é uma constante. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica em Coordenadas Polares. Para resolver, vamos precisar entender o que são trajetórias ortogonais e como encontrar a família de curvas que intersecta todas as curvas dadas formando um ângulo de 90 graus.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a família de curvas que nos foi dada:
. Aqui,
e
são as coordenadas polares, e
é uma constante que varia para gerar diferentes curvas na família.
Passo 3
Para encontrar as trajetórias ortogonais, vamos precisar derivar essa equação para obter a inclinação (derivada) das curvas originais. Em coordenadas polares, a derivada de
em relação a
é dada por:
Isso vem da regra da cadeia aplicada à função exponencial.
Passo 4
Agora, para as trajetórias serem ortogonais, suas inclinações devem ser negativas recíprocas das inclinações das curvas originais. Ou seja, se a inclinação das curvas originais é
, então a inclinação das trajetórias ortogonais será
.
Então:
Passo 5
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar a família de trajetórias ortogonais. Vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Passo 6
A integral de
em relação a
é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 8
Podemos reescrever essa equação para expressar
em termos de
:
Isso representa a família de trajetórias ortogonais às curvas originais.
Resposta
As trajetórias ortogonais da família de curvas
são dadas por:
Onde
é uma constante que define cada curva específica dentro da família ortogonal.
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