Resolva as seguintes EDO

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é . Aqui, estamos lidando com cálculo, especificamente com equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de manipulação algébrica e conhecimentos sobre como lidar com derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos chamar de para facilitar a escrita. Então, a equação fica:
Isso nos dá uma relação entre , e .

Passo 3

Agora, queremos expressar tudo em termos de . Vamos reorganizar a equação:
Isso forma uma equação quadrática em :

Passo 4

Resolvendo essa equação quadrática para , usamos a fórmula de Bhaskara:
No entanto, isso complica as coisas. Então, vamos tentar uma abordagem diferente assumindo que é constante.

Passo 5

Assumindo que é uma constante (o que significa que é constante), podemos escrever:
Isso representa uma família de retas com inclinação e intercepto .

Passo 6

Como é constante, a derivada também é constante. Isso confirma que nossa solução é consistente.

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

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Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo:
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