Resolva as seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que envolve funções de
e
. O enunciado nos dá a EDO:
E também nos informa que
é uma solução particular. Vamos usar o conteúdo de equações de Riccati para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a EDO é do tipo Riccati, que tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
Como já temos uma solução particular
, podemos usar uma substituição para simplificar a equação.
Passo 3
A substituição que vamos usar é:
Substituindo
na equação, temos:
Agora, precisamos calcular
em termos de
e
.
Passo 4
Derivando
em relação a
:
Substituindo
e
na EDO original:
Passo 5
Vamos simplificar o lado direito da equação:
Então, a equação fica:
Passo 6
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial linear mais simples:
Para resolver, encontramos o fator integrante
:
Multiplicando a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo:
Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas abaixo:
Defina parâmetro e estatística.
Classifique cada uma das variáveis seguintes como quantitativa, qualitativa e como contínua e discreta: A concentração de impurezas em uma amostra de leite, em mg por litro.