Resolva as seguintes EDO m) dy/dx = -e^(2x) + (1 + 2e^(x))y - y^(2); y1 = e^(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que envolve funções de e . O enunciado nos dá a EDO:
E também nos informa que é uma solução particular. Vamos usar o conteúdo de equações de Riccati para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a EDO é do tipo Riccati, que tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
Como já temos uma solução particular , podemos usar uma substituição para simplificar a equação.

Passo 3

A substituição que vamos usar é:
Substituindo na equação, temos:
Agora, precisamos calcular em termos de e .

Passo 4

Derivando em relação a :
Substituindo e na EDO original:

Passo 5

Vamos simplificar o lado direito da equação:
Então, a equação fica:

Passo 6

Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Agora, temos uma equação diferencial linear mais simples:
Para resolver, encontramos o fator integrante :
Multiplicando a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Então:

Passo 9

Lembrando que , substituímos :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária determinada pelas condições iniciais.

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