Encontre as trajetórias ortogonais da famplia de curvas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre curvas e suas interseções perpendiculares. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a equação diferencial da família de curvas e depois determinar sua trajetória ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a equação . No sistema de coordenadas polares, essa equação representa uma família de retas verticais no plano cartesiano, pois é equivalente a em coordenadas cartesianas. Assim, temos , que são retas paralelas ao eixo y.

Passo 3

Agora, para encontrar as trajetórias ortogonais, precisamos determinar a inclinação das curvas que interceptam em ângulos de 90 graus. Primeiro, vamos encontrar a derivada de . Como é constante, a derivada é zero, indicando que as retas são horizontais.

Passo 4

As trajetórias ortogonais terão inclinações que são negativas recíprocas das inclinações das curvas originais. Já que para as retas verticais, as ortogonais terão inclinação indefinida, ou seja, são retas horizontais. Portanto, as trajetórias ortogonais são as linhas horizontais .

Resposta

As trajetórias ortogonais da família de curvas são dadas por , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes EDO
Encontre as trajetórias ortogonais da famplia de curvas abaixo:
Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.
Nos Problemas 1-34, use o Teorema 7.3 para encontrar a transformada inversa pedida.