Encontre as trajetórias ortogonais da famplia de curvas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por . Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais e trajectórias ortogonais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar a equação da família de curvas e depois encontrar a equação das curvas ortogonais.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada da família de curvas. Começamos com . Para encontrar a derivada de em relação a , usamos a regra da derivação da função logarítmica:

Passo 3

Agora, precisamos eliminar a constante da equação. Da equação original , podemos isolar :
Substituindo isso na derivada que encontramos:
Então, a equação diferencial da família de curvas é:

Passo 4

Para encontrar as trajetórias ortogonais, a gente precisa que a inclinação das novas curvas seja o negativo do inverso da inclinação original. Se a derivada original é , então a derivada das curvas ortogonais será:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa nova equação diferencial:
Podemos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
Podemos reescrever isso para isolar :

Resposta

As trajetórias ortogonais da família de curvas são dadas por:

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