Encontre as trajetórias ortogonais da famplia de curvas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
. Isso está relacionado ao estudo de equações diferenciais e trajectórias ortogonais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar a equação da família de curvas e depois encontrar a equação das curvas ortogonais.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada da família de curvas. Começamos com
. Para encontrar a derivada de
em relação a
, usamos a regra da derivação da função logarítmica:
Passo 3
Agora, precisamos eliminar a constante
da equação. Da equação original
, podemos isolar
:
Substituindo isso na derivada que encontramos:
Então, a equação diferencial da família de curvas é:
Passo 4
Para encontrar as trajetórias ortogonais, a gente precisa que a inclinação das novas curvas seja o negativo do inverso da inclinação original. Se a derivada original é
, então a derivada das curvas ortogonais será:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa nova equação diferencial:
Podemos separar as variáveis para integrar:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Podemos reescrever isso para isolar
:
Resposta
As trajetórias ortogonais da família de curvas
são dadas por:
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