Resolva as seguintes EDO d y/d x = 1 + y^2/x^2 ; y1 = x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) dada por com a condição inicial . Vamos usar conceitos de cálculo, especialmente resolução de EDOs de primeira ordem, para encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição que facilita a resolução. Vamos definir . Isso significa que . Agora, vamos derivar em relação a :
Substituindo isso na equação original:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para isolar :
Simplificando:
Essa é uma equação separável, onde podemos separar as variáveis e .

Passo 4

Rearranjando para separar as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo pode exigir completar o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Resolvendo as integrais:
Substituindo :

Passo 5

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Simplificando:
Sabemos que , então:

Resposta

A solução da EDO é dada por:

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