Resolva as seguintes EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) dada por
com a condição inicial
. Vamos usar conceitos de cálculo, especialmente resolução de EDOs de primeira ordem, para encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação fazendo uma substituição que facilita a resolução. Vamos definir
. Isso significa que
. Agora, vamos derivar
em relação a
:
Substituindo isso na equação original:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para isolar
:
Simplificando:
Essa é uma equação separável, onde podemos separar as variáveis
e
.
Passo 4
Rearranjando para separar as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo pode exigir completar o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:
Resolvendo as integrais:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução da EDO é dada por:
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