Encontre a transforma de Fourier das funções: f(t)=1a^2+t^2

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a transformada de Fourier da função f(t)=1a^2+t^2. Aqui, vamos usar conceitos de transformadas de Fourier, que nos ajudam a transformar uma função no domínio do tempo para o domínio da frequência. Para isso, precisaremos integrar a função multiplicada por e^-iomega t em todo o intervalo de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da transformada de Fourier de uma função f(t):
Ff(t) = integral-infty^infty f(t) e^-iomega t dt

Passo 3

Aplicando essa definição à nossa função f(t)=1a^2+t^2, temos:
F1a^2+t^2 = integral-infty^infty 1a^2+t^2 e^-iomega t dt

Passo 4

Essa integral é uma transformada de Fourier conhecida. Sabemos que:
integral-infty^infty 1a^2+t^2 e^-iomega t dt = pia e^-a |omega|
Isso ocorre porque a função 1a^2+t^2 é uma função par e está relacionada à transformada de funções exponenciais.

Resposta

A transformada de Fourier da função f(t)=1a^2+t^2 é:
F1a^2+t^2 = pia e^-a |omega|

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