Encontre a transforma de Fourier das funções:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Fourier da função $ f(t) = e^{-a|t|} $. Estamos trabalhando com o conteúdo de Transformada de Fourier, uma ferramenta fundamental para analisar funções no domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar entender a definição da transformada de Fourier e como aplicá-la a funções que envolvem valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier. Para uma função $ f(t) $, a transformada de Fourier $ F(\omega) $ é dada por:
Essa integral transforma a função do domínio do tempo $ t $ para o domínio da frequência $ \omega $.
Passo 3
Nossa função é $ f(t) = e^{-a|t|} $. Note que o valor absoluto na função indica que ela é simétrica em relação ao eixo vertical. Isso significa que podemos simplificar a integral dividindo-a em duas partes: quando $ t $ é positivo e quando $ t $ é negativo.
Passo 4
Vamos dividir a integral em duas partes:
Simplificando a expressão $ e^{-a(-t)} = e^{a t} $:
Passo 5
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Começando pela primeira integral:
Essa é uma integral exponencial que converge se $ a > 0 $. Integrando, temos:
Avaliando nos limites de $ -\infty $ a $ 0 $:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Essa também é uma integral exponencial que converge para $ a > 0 $. Integrando, temos:
Avaliando nos limites de $ 0 $ a $ \infty $:
Passo 7
Agora, somamos as duas partes que calculamos:
Para simplificar, vamos combinar os termos:
Resposta
A transformada de Fourier da função $ f(t) = e^{-a|t|} $ é: