Encontre a transforma de Fourier das funções: f(t)=e^-a|t|

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Fourier da função $ f(t) = e^{-a|t|} $. Estamos trabalhando com o conteúdo de Transformada de Fourier, uma ferramenta fundamental para analisar funções no domínio da frequência. Para resolver, vamos precisar entender a definição da transformada de Fourier e como aplicá-la a funções que envolvem valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Fourier. Para uma função $ f(t) $, a transformada de Fourier $ F(\omega) $ é dada por:
f(t)
Essa integral transforma a função do domínio do tempo $ t $ para o domínio da frequência $ \omega $.

Passo 3

Nossa função é $ f(t) = e^{-a|t|} $. Note que o valor absoluto na função indica que ela é simétrica em relação ao eixo vertical. Isso significa que podemos simplificar a integral dividindo-a em duas partes: quando $ t $ é positivo e quando $ t $ é negativo.

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes:
F(omega) = integral-infty^0 e^-a(-t) e^-iomega t , dt + integral0^infty e^-a t e^-iomega t , dt
Simplificando a expressão $ e^{-a(-t)} = e^{a t} $:
e^-a(-t) = e^a t

Passo 5

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. Começando pela primeira integral:
integral-infty^0 e^a t e^-iomega t , dt = integral-infty^0 e^(a - iomega)t , dt
Essa é uma integral exponencial que converge se $ a > 0 $. Integrando, temos:
a > 0
Avaliando nos limites de $ -\infty $ a $ 0 $:
integral e^(a - iomega)t , dt = e^(a - iomega)ta - iomega + C

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral0^infty e^-a t e^-iomega t , dt = integral0^infty e^-(a + iomega)t , dt
Essa também é uma integral exponencial que converge para $ a > 0 $. Integrando, temos:
a > 0
Avaliando nos limites de $ 0 $ a $ \infty $:
integral e^-(a + iomega)t , dt = e^-(a + iomega)t-(a + iomega) + C

Passo 7

Agora, somamos as duas partes que calculamos:
F(omega) = 1a - iomega + 1a + iomega
Para simplificar, vamos combinar os termos:
F(omega) = (a + iomega) + (a - iomega)(a - iomega)(a + iomega) = 2aa^2 + omega^2

Resposta

A transformada de Fourier da função $ f(t) = e^{-a|t|} $ é:
f(t) = e^-a|t|

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